Интегрирование по частям

Если и – дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

.

Формула применяется в случаях, когда интеграл, стоящий в правой части, оказывается проще исходного интеграла.

Применяется формула в следующих случаях:

1. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию. В этом случае в качестве выбирается многочлен . Это интегралы вида:

Пример 1. Найти .

Решение:

2. Подынтегральная функция есть произведение степенной на логарифмическую функцию или обратную тригонометрическую функцию, их обычно и следует принимать за .

Это интегралы вида:

Пример 2. Найти .

Решение:

Кроме перечисленных встречаются и другие интегралы, берущиеся по частям.

3. Рекуррентные формулы. Это интегралы вида:

и другие.

Пример 3.

Решение:

Последний интеграл еще раз проинтегрируем по частям:

Т.е.

Решая интегральное уравнение, получим:

Дата добавления: 2015-07-16