Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной называется дробь вида , где , – многочлены степени и соответственно. Если , то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Всякую неправильную дробь, например с помощью деления «уголком» числителя на знаменатель, можно представить в виде суммы многочлена степени и правильной дроби. Этот процесс называется выделением целой части.

Пример 1. Выделить целую часть дроби .

Решение: Разделим многочлен на многочлен «уголком»:

.

Так как интегрирование многочлена трудностей не вызывает, то основная проблема состоит в интегрировании правильной рациональной дроби.

В курсе высшей алгебры доказывается, что любой многочлен (в нашем случае – знаменатель дроби ) единственным образом можно разложить на множители четырех типов:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

где , а - квадратный трехчлен, не имеющий действительных корней.

Там же доказывается, что любая правильная рациональная дробь единственным образом заменяется на сумму так называемых простых дробей. При этом множителю знаменателя первого типа ставится в соответствие одна дробь , множителю второго типа - сумма дробей , множителю третьего типа - дробь , множителю четвертого типа - сумма дробей ,

где – буквенные, пока неизвестные, коэффициенты. В результате получается равенство, в левой части которого стоит исходная правильная рациональная дробь, а в правой - сумма простых дробей с буквенными коэффициентами. После умножения обеих частей этого равенства на общий знаменатель получим равенство двух многочленов, один из которых имеет конкретные числовые коэффициенты, а буквенные коэффициенты второго нужно определить. Они находятся методом неопределенных коэффициентов, при применении которого используют два факта:

1. Если две функции равны, то они имеют одинаковые значения при одинаковых значениях аргумента.

2. Если равны два многочлена, то равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. После определения буквенных коэффициентов интеграл от рациональной дроби заменится суммой интегралов от простых дробей, каждый из которых или табличный, или вычисляется уже известными методами.

Пример 1. Найти

Решение: Подынтегральную правильную рациональную дробь разложим на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть к общему знаменателю

и запишем тождественное равенство числителей:

.

Подставляя в полученное выражение корни знаменателя , , , найдем неизвестные коэффициенты :

Следовательно, искомый интеграл представим в виде:

Пример 2. Найти

Решение: Подынтегральную правильную рациональную дробь раскладываем на сумму простейших:

.

Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:

.

Подставляя два действительных корня в полученное равенство, найдем неопределенные коэффициенты :

Для нахождения и в этом же равенстве приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Решаем систему линейных уравнений:

Следовательно, искомый интеграл

Пример 3. Найти

Решение: Дробь - неправильная, поэтому выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель, получим:

.

Разложим дробь на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и запишем тождество для числителей: .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Следовательно,

.

Вычислим второй интеграл:

Исходный интеграл будет равен:

Пример 4. Найти

Решение: Дробь правильная, ее разложение на сумму простейших дробей имеет вид:

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и запишем тождество для числителей:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Исходный интеграл приведем к виду:

Вычислим первый интеграл:

Вычислим второй интеграл:

Следовательно, исходный интеграл:

Дата добавления: 2015-07-16