Интегрирование заменой переменной

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенного интегралаимеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

3 Интегрирование некоторых классов функции

Интегрирование дробно-рациональных функций

Определение 1. Функция вида , где и - многочлены, называется дробно-рациональной функцией. Мы будем рассматривать, как правило, правильные дроби, то есть дроби , где степень многочлена в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе.

Интегрирование тригонометрических функций

Основные тригонометрические формулы

Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.

sin² a + cos² a = 1






sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos² a – sin² a = 2 cos² a – 1 = 1– 2 sin² a

Общий подход

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b), то следует выполнить преобразование:
cos (x+b) = cos (x+a – (a–b)) = cos (x+a) cos (b–a) + sin (x+a) sin (b–a).
После чего сделать замену z = x+a. В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z.

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z, cos z, tg z, ctg z, то нужно сделать подстановку
.
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

---

Дата добавления: 2015-07-15