Вычисление площадей плоских фигур. Пусть f(x)≥0 для Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми Разобьём

Пусть f(x)≥0 для Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми Разобьём отрезок [a,b] на части точками , выберем внутри каждого элементарного отрезка по точке . Заменим криволинейную трапецию, ограниченную линиями y=0,x=x_i, x=x_i+1, y=f(x), прямоугольником . Если f - непрерывная функция, то площадь этого прямоугольника равна и при достаточно малом близка площади заменяемой трапеции. Просуммировав, получим, с одной стороны, приближенное значение площади криволинейной трапеции, с другой стороны, интегральную сумму для интеграла . Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, получаем площадь S исходной криволинейной трапеции
Назовём трапецию простейшей областью, если она ограничена кривыми x = a, x = b, y = f₁(x), y = f₂(x), и для всех выполнено неравенство f₁(x) ≤ f₂(x). Нетрудно видеть, что для простейшей области
Аналогично, если для всех , то для криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=c, y=d, x = φ₁(y), x = φ₂(y) (простейшей областью второго типа), имеем

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

Примеры 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и x = y².
Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1). Поэтому
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 2x + 1 и x-y-1=0.
Эти кривые пересекаются в точках A(0,-1) и B(4,3). В данном случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому

Дата добавления: 2015-07-15