Пример 1. Руководство по решению задач формирования оптимальной производственной

Руководство по решению задач формирования оптимальной производственной программы

Пример 1.

Предприятие характеризуется следующими параметрами:

- выпускается N видов продукции;

- используется M видов ресурсов.

Известны:

- цена каждого вида продукции;

- норма затрат каждого вида ресурсов для выпуска единицы каждого вида продукции;

- запас каждого вида ресурсов на текущий период.

Задача: Найти такой план выпуска продукции, для которого суммарная выручка от реализации всех видов продукции будет максимальной.

Необходимая информация по выпуску продукции приведена в таблице на листе Исх книги Модели оптимизации)

Здесь N=5 (пять видов изделий), а M=4 (четыре типа ресурсов). Цены реализации каждого вида продукции находятся в ячейках C9:G9, нормы затрат каждого вида ресурсов – в блоке ячеек C5:G8, а запасы ресурсов – в ячейках H5:H8.

Процедура решения задачи предполагает выполнение следующих этапов.

I этап. Выбор управляемых переменных

В качестве управляемых переменных выбираются те экономические показатели, которые позволяют записать все ограничения, а их численные значения дают ответ на вопрос, поставленный в задаче. Для нашего примера – это объемы выпускаемой продукции:

Xi – объем выпуска i-го вида продукции, i = 1, 2, 3, 4, 5.

Замечание: Место под управляемые переменные зарезервировано в ячейках C13:G13 в специальным образом оформленной таблице на исходном листе Исх:

II этап. Выбор целевой функции

Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или min) для достижения наилучших результатов?

В нашей задаче в качестве целевой функции выбирается суммарная выручка от продаж, а в качестве критерия поиска – максимальное значение этой функции.

Замечание: Место под целевую функцию зарезервировано в ячейке C15:

По условию задачи известна цена реализации каждой единицы новой продукции, поэтому с учетом управляемых переменных можно записать выражение для суммарной выручки от продаж, которую получит предприятие после реализации всех произведенных изделий.

В нашем случае Х₁ – объем выпуска изделия А, его цена – 2 580 р., тогда 2 580 ∙ Х₁ – это ожидаемая денежная сумма от реализации всех произведенных изделий А. После того, как будет найдено численное значение управляемой переменной Х₁, мы будем знать численное значение этой суммы.

Аналогично определяются ожидаемые денежные суммы, получаемые от реализации всех остальных изделий.

В результате можно записать математическое выражение для расчета суммарной выручки от продаж:

Z = 2 580 ∙ Х₁ + 1 780 ∙ Х₂ + 2 850 ∙ Х₃ + 1 480 ∙ Х₄ + 1 700 ∙ Х₅.

В качестве коэффициентов целевой функции в данной задаче служат значения цен реализации каждого вида изделий. Для построения этой формулы в рамках Excel используется функция СУММПРОИЗВ (). Эта функция возвращает сумму произведений соответствующих элементов диапазонов. В нашем примере – это диапазоны C9:G9 (данные по цене реализации)и C13:G13 (управляемые переменные).

Выполнить: Выделить ячейку C15. Вызвать мастер функций (меню Вставка – Функция или кнопка рядом со строкой ввода), выбрать функцию СУММПРОИЗВ и заполнить диалоговое окно по образцу:

В результате выполнения этой функции в целевой ячейке появиться нулевое значение, т.к. объемы производств изделий пока равны нулю.

I I I этап. Анализ существенных ограничений

Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Например, количество ресурса, затраченного при производстве и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Учесть в математической модели все факторы, оказывающие влияние на выпуск продукции, невозможно, более того, в этом нет необходимости. Следует учесть только те факторы, которые оказывают существенное влияние на принимаемые решения.

Важно:

В оптимизационных моделях различают три типа ограничений:

1) ограниченность имеющихся ресурсов;

2) необходимость достижения экономическими показателями заранее заданных значений (плановые ограничения);

3) технологические соотношения между группами управляемых переменных.

Замечание: Место под фактически израсходованные в процессе производства ресурсы зарезервировано в ячейках J5:J8 специальным образом оформленной таблице:

Согласно условию решаемой задачи ограничены запасы сырья, фонд времени работы оборудования, количество комплектующих и трудоресурсы (т.е. ограничения первого типа). Подобные ограничения не позволяют целевой функции расти до бесконечности.

По условию задачи на одну единицу изделия А затрачивается 6 кг сырья, тогда на весь ожидаемый выпуск изделия А (Х₁) будет затрачено 6 ∙ Х₁ кг. На все выпускаемые изделия В будет затрачено 2 ∙ Х₂ кг и т.п. Таким образом, выражение для расчета ожидаемых затрат сырья имеет вид:

6 ∙ Х₁ + 2 ∙ Х₂ + 7 ∙ Х₃ + 4 ∙ Х₄ + 5 ∙ Х₅.

Поскольку ожидаемые затраты сырья не могут превысить имеющихся запасов сырья, то:

6 ∙ Х₁ + 2 ∙ Х₂ + 7 ∙ Х₃ + 4 ∙ Х₄ + 5 ∙ Х₅ ≤ 6 000.

Рассуждая аналогично, запишем ограничения по использованию фонда времени оборудования, комплектующих и трудозатрат:

5 ∙ Х₁ + 3 ∙ Х₂ + 4 ∙ Х₃ + 5 ∙ Х₄ + 4 ∙ Х₅ ≤ 7 500.

4 ∙ Х₁ + 3 ∙ Х₂ + 5 ∙ Х₃ + 2 ∙ Х₄ + 2 ∙ Х₅ ≤ 4 300.

9 ∙ Х₁ + 4 ∙ Х₂ + 5 ∙ Х₃ + 4 ∙ Х₄ + 8 ∙ Х₅ ≤ 11 000.

Левые части этих неравенств представляют собой фактические расходы соответствующих типов ресурсов на ожидаемый выпуск всех видов изделий.

Выполнить: Ввести в ячейки J5:J8 соответственно формулы:

Ячейка	Формула
J5	=СУММПРОИЗВ(C5:G5;C13:G13)
J6	=СУММПРОИЗВ(C6:G6;C13:G13)
J7	=СУММПРОИЗВ(C7:G7;C13:G13)
J8	=СУММПРОИЗВ(C8:G8;C13:G13)

Вопрос: Как с помощью абсолютной адресации упростить ввод формул в ячейки?

Кроме того, в модель должны быть добавлены условия, что объемы производств каждого вида изделий должны быть неотрицательными.

Таким образом, в ячейках электронной таблицы полностью записана экономико-математическая модель решаемой задачи.

Дата добавления: 2015-07-15