Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

,

где , – непрерывно дифференцируемые функции от .

С помощью этой формулы отыскание сводится к отысканию другого , если последний интеграл проще исходного.

При этом за берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за – та часть подынтегрального выражения, содержащая , интеграл от которой известен или может быть найден.

При нахождении интегралов видов , , , за следует принимать многочлен , а за соответственно выражения , , , .

При нахождении интегралов видов , , , за принимаются соответственно функции , , , , а за выражение .

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Иногда, чтобы свести интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

.

В некоторых случаях с помощью формулы получают уравнения, из которого определяется искомый интеграл.

Пример 6.

.

Следовательно,

.

Найдем искомый интеграл из этого уравнения:

.

2.3 Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

1. Интегралы видов и решаются путем выделения полного квадрата из трехчлена, стоящего в знаменателе, в результате чего получается табличный интеграл.

Пример 1.

.

Пример 2.

2. Интегралы видов и решаются путем выделения в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Затем полученный интеграл нужно разложить на сумму двух интегралов.

Пример 3.

Первый интеграл находим, используя замену переменной

, тогда ,

а во втором интеграле в знаменателе выделяем полный квадрат:

.

Пример 4.

.

Дата добавления: 2015-07-15