Объем тела вращения

Если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции , то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси , будет кругом, радиус которого равен соответствующей ординате кривой .

Площадь сечения , соответствующего абсциссе , как площадь круга, равна . Дифференциал объема тела, соответствующий приращению , будет , а весь объем тела вращения определяется формулой .

Если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной кривой , то , а объем тела вращения определяется формулой .

Таким образом, объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью , и двумя вертикалями , , вокруг осей и , выражаются соответственно формулами:

.

Пример. Вычислить объем тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси вокруг: а) оси ; б) оси .

Решение:

В более общих случаях объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми , , вокруг координатных осей и ,, соответственно равны

Пример. Найти объем тора, образованного вращением круга вокруг оси .

Решение: ,

Дата добавления: 2015-07-15