Первообразная функция и неопределенный интеграл

Глава 2. Интегральное исчисление

Содержание:

Тема 2.1. Неопределённый интеграл.. 2

Первообразная функция и неопределенный интеграл. 2

Свойства неопределенного интеграла. 3

Интегралы от основных элементарных функций. 4

Методы интегрирования. 4

Тема 2.2. Определённый интеграл.. 5

Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. 5

Задача о площади криволинейной трапеции. 5

Понятие интегральной суммы. 5

Геометрический смысл интегральной суммы.. 6

Понятие определенного интеграла. 6

Геометрический смысл определенного интеграла. 7

Формула Ньютона—Лейбница.. 7

Тема 2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения.. 8

Дифференциальные уравнения первого порядка.. 8

Определение дифференциального уравнения первого порядка. 8

Решение уравнения. 8

Общее и частное решение уравнения. 8

Уравнения с разделяющимися переменными. 9

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 9

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Тема 2.1. Неопределённый интеграл

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определение. Функция F[x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F'(x)=f(x).

Например, F(x)= является первообразной для функции f(x)=x², так как

.

По геометрическому смыслу производной F'(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой y=F(x) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f(x) - значит найти такую кривую y=f[x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке (см. рис. 10.1).

Следует отметить, что для заданной функции f(x) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции и вообще где С - некоторое число, являются первообразными для функции f(x) =х². Аналогично, в общем случае, если F(x) — некоторая первообразная для f(x), то, поскольку (F(x) +С) '= F'(x)=f(x), функция вида F(x) + С, где С — произвольное число, также являются первообразными для f(x).

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y=F(x), удовлетворяющая условию F'(x)=tg а= f(x), то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см. рис. 10.1).

Остается вопрос, описывает ли выражение вида F(x)+C все первообразные для функции f(x). Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) — первообразные для функции f( х) в некотором промежутке X, то найдется такое число С, что справедливо равенство

F₂(x)=F₁(x)+C.

Из данной теоремы следует, что, если F(x) — первообразная для функции f(x), то выражение вида F(x) + С, где С — произвольное число, задает все возможные первообразные для f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается где - знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение. Таким образом,

(*)

где F(x) — некоторая первообразная для f(x), С — произвольная постоянная.

Например, поскольку первообразная для функции f(x) = х², то

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Дата добавления: 2015-07-15