Экономические приложения производных ФНП

Функция , характеризующая максимально возможный объем выпуска продукции в зависимости от использования ресурсов х и у, называется производственной функцией.

Рассмотрим производственную функцию , т. е. функцию, выражающая зависимость объемов производства от факторов производства. Пусть у – затраты овеществленного труда, х – затраты живого труда. Тогда

– предельная производительность живого труда,

– предельная производительность овеществленного труда,

– эластичность объема производства относительно х,

– эластичность объема производства относительно у.

Коэффициент эластичности показывает, насколько изменится объем производства при изменении фактора производства на 1 %.

Пример 14. Для производственной функции определить коэффициенты эластичности ресурсов х и у: , , если значения ресурсов равны соответственно 1 и 2.

Решение. Найдем частные производные , и их значения в точке : , . Подставив значения частных производных в формулы для вычисления коэффициентов эластичности, получим ; . Значит, объем производства возрастет на 0,8% и 0,2% при изменении ресурсов х и у на 1%.

Пример 15. Фирма имеет 2 филиала, издержки производства в которых описываются функциями и соответственно, где х и у – объемы производимой продукции. Общий спрос на товар фирмы определяется ценой р за единицу продукции, зависящей от объема выпускаемой продукции и определяемой функцией . Рассчитать оптимальный объем выпуска продукции для производителя, оптимальную цену в целом и распределение производственной программы по филиалам, если:

;

Решение. Оптимальный выпуск продукции определяется максимальной прибылью фирмы, которая равна

,

где , а произведение – доход фирмы от реализуемой продукции по цене р.

Определим экстремум функции , определяющей прибыль. Для этого вычислим частные производные первого порядка функции :

, ,

приравняем их к нулю и найдем стационарные точки:

, ,

откуда , . Характер экстремума в стационарной точке определим, вычислив значения частных производных второго порядка

и значение выражения . Так как и , то точка – точка максимума. Значит, если фирма в первом филиале произведет 1107 единиц продукции, а во втором – 1102 единицы продукции, то, продав ее по цене ден. ед. за единицу, она получит максимальную прибыль, равную

Пример 16. Определить оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска , если затраты на ресурсы х и у линейны и задаются ценами , , т. е. .

Решение. В точке , задающей оптимальное распределение ресурсов х и у, уравнение функции издержек определяет плоскость, которая касается изокванты . Изокванта есть часть графика функции . Линии уравнения функции издержек – прямые , угловой коэффициент которых . Таким образом, условие касания имеет вид , откуда .

Таким образом, ресурсы х и у следует распределить в соотношении 4:3, так как .

Пример 17. Имеются два технологических процесса производства некоторого изделия. Издержки производства описываются функциями , , где и у – объемы производимых изделий при первом и втором технологическом процессах соответственно. За некоторое время нужно произвести 100 единиц изделий. Выпуск изделий надо распределить таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, если .

Решение. Общие издержки: . Необходимо произвести изделий. Так как уравнение связи является линейной функцией, то из уравнения найдем и подставим в функцию . Получим функцию одной переменной :

Исследуем функцию на экстремум. Вычислим производную , приравняем ее к нулю: , откуда . Тогда . Поскольку , то при функция достигает минимума. Для функции точка с координатами (52; 48) является также точкой минимума.

Итак, для минимизации общих издержек нужно 52 изделия произвести первым технологическим способом, а 48 изделий – вторым технологическим способом.

Пример 18. Некоторый цех завода выпускает два вида изделий, причем изделия каждого вида обрабатываются на двух различных станках А и В. Каждая единица изделия первого вида требует 3-х часов обработки на станке А и 2-х часов – на станке В. Для изделия второго вида время обработки на станках А и В соответственно равно 2 часа и 3 часа. Станок А можно использовать не более 8 часов, а станок В – не более 7 часов в смену. Прибыль, получаемая от продажи единицы каждого вида изделия, равна 20 ден. ед. Составить план работы цеха, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Решение. Пусть за смену производят х изделий 1-го вида и у изделий 2-го вида. Обозначим и резерв времени работы станков А и В соответственно. Следовательно, нужно найти максимум функции при выполнении ограничений на время использования станков А и В:

Составим функцию Лагранжа

.

Вычислим ее частные производные:

,

.

Приравняем их к нулю и составим систему

Решив эту систему, получим

.

Подставим координаты стационарной точки в функцию Лагранжа , получим

.

Из вида функции Лагранжа следует, что при принимает максимальное значение. Тогда из системы

находим значение количества изделий 1-го вида и 2-го вида , которые нужно произвести за смену. При этом прибыль будет равна ден. ед.

Дата добавления: 2015-07-14