Экстремумы функции двух переменных

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность этой точки, такая, что для всех точек из этой окрестности, отличных от , имеет место неравенство

.

Точки локального минимума и локального максимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и точка является точкой экстремума. Если в этой точке существуют частные производные первого порядка, то они равны нулю:

.

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют, называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Достаточное условие экстремума. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой окрестности, а в точке – дважды дифференцируема, и пусть частные производные в этой точке равны нулю.

Введем обозначения:

,

.

1) если , то является точкой экстремума. При этом

а) если или , то – точка минимума,

б) если или , то – точка максимума.

2) если , то не является точкой экстремума.

3) если , то необходимо дальнейшее исследование.

Примечание. Поскольку функция дважды дифференцируема в точке , то .

Пример 11. Найти локальный экстремум функции

.

Решение. Функция определена для всех . Для отыскания стационарных точек вычислим частные производные по х и у:

,

приравняем их к нулю:

Решив эту систему, найдем

,

т.е. стационарными точками являются

, , .

Для определения характера экстремума вычислим частные производные второго порядка:

и их значения в стационарных точках , , .

1) : , , , . Достаточный признак ответа не дает. Заметим, что в любой окрестности этой точки имеются точки, в которых значения данной функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Например, вдоль оси Ox значение функции

,

а вблизи точки вдоль биссектрисы значение функции

.

Таким образом, оказалось, что для различных точек из некоторой окрестности точки полное приращение не сохраняет знак. Следовательно, в этой точке функция не имеет локального экстремума.

2) : , , , , и так как , то функция в этой точке имеет локальный минимум .

3) : , , , , и так как , то в точке функция имеет минимум .

Дата добавления: 2015-07-14