Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Если функция дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в критической точке, или в граничной точке области.

Пример 13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D, ограниченной прямыми , , .

Решение. Данная область D представляет собой треугольник, ограниченный прямой и координатными осями

Найдем критические точки, лежащие внутри области D. Для этого вычислим производные и приравняем их к нулю, получим систему

которая равносильна четырем системам:

1) 2)

3) 4)

Решив их, найдем критические точки: , , , , , , которые принадлежат данной области или ее границе. В этих точках значения функции равны:

, .

Изучим изменение функции на границе области. При и больше нет стационарных точек, кроме указанных, и значения функции z равны нулю.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на прямой , , подставим значение у в функцию. Получим функцию одной переменной х:

.

Определим наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке . Для этого вычислим производную и приравняем ее к нулю: . Получим еще две стационарные точки и , одна из которых совпадает с точкой В и . В точке значение функции равно: . Сопоставляя значения функции в точках , , , , , , , , заключаем, что данная функция достигает наименьшего значения в точке , причем и наибольшего значения – в точке , причем .

Дата добавления: 2015-07-14