Геометрические приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пример 1.Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями y=x, y=1/ , y=0, x=3.

Решение. Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=0 и , x=3 и графиком функции, которая на отрезке [0, 1] равна x , а на отрезке [1, 3] равна 1/ . Записать первообразную такой функции нелегко. Поэтому разобьем данную криволинейную трапецию прямой x=1 на две части (рис.1). Площади этих частей легко найти по формуле (1):

.

Согласно свойству аддитивности площади, S=

у

?

Вопросы для самопроверки

1.Что такое разбиение отрезка ?

2.Что такое интегральная сумма функции f(x) на отрезке?

3.Дайте определение определенного интеграла как предела интегральной суммы. Почему вместо λ нельзя писать n ?

4.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла. Докажите свойство для случая расположения точек b < c < a.

5.Перечислите оценки интегралов.

6.Пусть Следует ли отсюда, что f(x) на ?

7.Сформулируйте теорему о среднем.

8.Почему в формуле среднего значения точку c нельзя считать произвольной?

9.Приведите пример, когда формула справедлива для любой точки c .

10.Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции.

11.Всякая ли ограниченная функция интегрируема? Ответ обоснуйте примером.

12.Сформулируйте достаточное условие интегрируемости функции.

13.Приведите пример интегрируемой функции.

Дата добавления: 2015-07-11