Решение. 1) Согласно формулам Крамера:

1) Согласно формулам Крамера:

,

найдем

2) Проведем эквивалентные преобразования расширенной матрицы системы в соответствии с методом Гаусса:

3) Определим матрицу, обратную матрице . Такая матрица существует, так как определитель матрицы А не равен нулю (). Найдем алгебраические дополнения

Теперь транспонируем матрицу, составленную из алгебраических дополнений, и разделим ее элементы на , тогда обратная матрица

.

Вектор решений системы получим, умножив полученную обратную матрицу на вектор-столбец свободных членов:

.

Таким образом, всеми тремя способами получено решение: .

Задание 2.

Даны вершины треугольной пирамиды: (2;-3;1), (6;1;-1), (4;8;-9) и (2;-1;2).

Требуется найти:

1) длину ребра ;

2) площадь грани ;

3) угол между ребрами и ;

4) объем пирамиды ;

5) уравнение плоскости АВС;

6) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) уравнения стороны ;

8) длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение.

1) Длина ребра определяется по формуле:

2) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Так как

, , то

, то площадь треугольника определяется по формуле

.

3) Косинус угла между ребрами и определяется по формуле . Найдем и , тогда

рад.

4) Объем пирамиды находим, используя формулу , определив предварительно

5) Найдем уравнение плоскости , используя уравнение плоскости, проходящей через три точки:

6) Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору , имеют вид

.

В данном случае совпадает с нормалью , проведенной к плоскости грани , поэтому искомые уравнения имеют вид

7) Чтобы записать уравнения стороны , используем уравнения прямой, проходящей через две точки:

, тогда получим:

.

8) Найдем длину высоты, опущенной из вершины на грань , согласно формуле

Дата добавления: 2015-07-12