Клодина Т.В., Задорожная Н.С., Данилова Н.В.

РОСЖЕЛДОР

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Ростовский государственный университет путей сообщения

(РГУПС)

Т.В. Клодина, Н.С. Задорожная, Н.В. Данилова

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО МАТЕМАТИКЕ

Методические указания

(1 курс, первый семестр)

Ростов-на-Дону

УДК 517.2(07)+06

Клодина Т.В., Задорожная Н.С., Данилова Н.В.

Типовой расчет по математике. 1 курс, первый семестр: методические указания / Т.В. Клодина, Н.С. Задорожная, Н.В. Данилова; Рост. Гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2011. - 42 с. Библиогр.: 4 назв.

Предлагаемый типовой расчет охватывает содержание разделов, изучаемых студентами в курсе «Высшая математика» в первом семестре первого курса: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости, аналитическая геометрия в пространстве, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление.

Приведенные задания подразделяются на две группы: задачи класса «В» предназначены для хорошо и отлично успевающих студентов и класса «А» для остальных студентов.

Составлены задания с образцами решения. Практические задания разделены на 30 вариантов, предназначенных для индивидуального выполнения студентами в процессе работы над курсом. Они способствуют выработке у слушателей необходимых практических навыков в использовании теоретических положений при решении задач.

Типовой расчет выполняется студентами самостоятельно в течение всего семестра и подлежит защите.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса строительного факультета и факультета ДСМ РГУПС.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, профессор В.Б. Зеленцов (РВИ РВ),

канд. техн. наук, доцент Кручинина Е.В. (РГУПС).

Задание 1.

Решить систему уравнений по формулам Крамера (задача класса “А»); методом Гаусса и матричным способом (с нахождением обратной матрицы) (задача класса «В»).

Варианты для самостоятельного решения.

№1	№2	№3
№4	№5	№6
№7	№8	№9
№	№	№
№	№	№
№	№	№
№	№	№
№	№	№
№	№	№27
№	№	№30

Задание 2.

Даны вершины треугольной пирамиды: и . Требуется найти:

1) длину ребра ;

2) площадь грани ;

3) угол между ребрами и ;

4) объем пирамиды ;

5) уравнение плоскости

6) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) уравнения стороны ;

8) длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Варианты для самостоятельного решения.

№1	(3;-1;5); (4;2;3); (0;-1;1); (-2;1;3)	№2	(4;-1; 2); (2; 3;-5); (4;0;3); (6; 1;-1)
№3	(0;-3;2); (3;2;1); (5;-1;0); (1;0;-1)	№4	(1; 2; 0); (3;-1;0); (01;2); (4;-3;5)
№5	(1; 2; 0); (3; -1; 6); (0; 4; -1); (5; 0; 1)	№6	(5;3;-2); (0;4;6); (7;0;-1); (1;4;0)
№7	(0; 3; -1); (5; 6; -1); (2; -1; 0); (1; 0; -1)	№8	(4;2;-3); (0;1;5); (3;-1; 0); (6;0;-3)
№9	(1; 2; -5); (4; 3; 0); (3; 0; -2); (0; 2; -1)	№10	(3;0;-2); (5;-2;3); (4;-1;0); (0; 2; 1)
№11	(1; 2; 3); (0;4; 5); (-3; -1; 0); (2; 5; -1)	№12	(2; 4; 3); (1;0;-1); (2;2;-3); (0;7;-1)
№13	(3; 5; 0); (2; -1; 1); (0; 3; 4); (5; 2; 1)	№14	(-2;1;3); (4;2;3); (3;-1;5); (1;0;2)
№15	(6; 1; -1); (4; 0; 3); (2; 3; 0); (4; -1; 2)	№16	(1;0;-1); (5;-1;0); (3;2;1); (0;-3;2)
№17	(5; 3; -4); (0; -1; 2); (1;2;0); (5; 6; -1)	№18	(6;0;3); (3;-1;0); (5;1;2); (4; 2;0)
№19	(1; -2; 5); (2;-1;1); (3;4 0); (0; 3; 1)	№20	(-1;2;0); (3;0;-2); (4;3;0); (7; 2; -1)
№21	(3; 3; 0); (2; -1; 5); (0;4;-2); (1;-1; 3)	№22	(6; 0;-3); (0;1;5); (4; 2; 3); (2; 4; 0)
№23	(1; 0; 2); (3; -1; 5); (4;-2;3); (0; 2; -1)	№24	(0; 7;-1); (2;2;3); (1; 0; -1); (2; 4; -3)
№25	(5; 2; 1); (0; 3; 4); (2;-1;2); (3; 5; 0)	№26	(4;-3;5); (0;-1;2); (1;2;0); (3;5;7)
№27	(5;0; 1); (0;4;-1); (3;-1;6); (1; 2; 0)	№28	(1;4;0); (7;0;-1); (0;4;6); (5;3;-2)
№29	(-1; 2; 0)№ (-2;0;3); (0;3; 4); (-5; 2; 7)	№30	(2; 5;-1); (-3;-1;0); (0;2;3); (4;0;-5)

Задание 3.

Даны вершины треугольника . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и , их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах;

4) уравнение высоты и ее длину;

5) уравнение медианы ;

6) координаты точки пересечения высоты и медианы .

Варианты для самостоятельного решения.

№1		№2
№3		№4
№5		№6
№7		№8
№9		№10
№11		№12
№13		№14
№15		№16
№17		№18
№19		№20
№21		№22
№23		№24
№25		№26
№27		№28
№29		№30

Задание 4.

Задачи класса «В». Дано уравнение линии второго порядка:

Требуется:

1) привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду;

2) исследовать, будут ли пересекаться эта линия и прямая , если да, то найти координаты точек их пересечения;

3) сделать чертеж.

Варианты для самостоятельного решения.

№1		№2
№3		№4
№5		№6
№7		№8
№9		№10
№11		№12
№13		№14
№15		№16
№17		№18
№19		№20
№21		№22
№23		№24
№25		№26
№27		№28
№29		№30

Задачи класса «А». Построить график квадратичной функции по основным точкам (точкам пересечения с осями координат, координатам вершины и направлениям ветвей).

Варианты для самостоятельного решения.

№ 1	№ 2	№ 3
№ 4	№ 5	№ 6
№ 7	№ 8	№ 9
№ 10	№ 11	№ 12
№ 13	№ 14	№ 15
№ 16	№ 17	№ 18
№ 19	№ 20	№ 21
№ 22	№ 23	№ 24
№ 25	№ 26	№ 27
№ 28	№ 29	№ 30

Задание 5.

Вычислить пределы функций. Номера примеров для задач класса «А»: 1, 2, 3, 4; задач класса «В»: 5, 6, 7, 8, 9.

Варианты для самостоятельного решения.

№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№

Задание 6.

Найти производные функций. Номера примеров задач класса «А»: 1, 2, 6, 7 и № 1 при нахождении производной второго порядка .

Варианты для самостоятельного решения.


№ 1
№ 2
№ 3
№ 4
№ 5
№ 6
№ 7
№ 8
№ 9
№ 10
№ 11
№ 12
№ 13
№ 14
№ 15
№ 16
№ 17
№ 18
№ 19
№ 20
№ 21
№ 22
№ 23
№ 24
№ 25
№ 26
№ 27
№ 28
№ 29
№ 30

Задание 7.

Задача класса «В». Исследовать функцию и построить график.

Общая схема исследования функции и построения графика:

1) найти область определения функции и точки разрыва;

2) определить, является ли функция четной или нечетной, периодической;

3) найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции;

4) найти асимптоты функции;

5) найти точки экстремума и интервалы монотонности функции;

6) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика;

7) построить график функции, используя результаты исследования и, при необходимости, построение по точкам.

Варианты для самостоятельного решения.

№1	№2	№3
№4	№5	№6
№7	№8	№9
№10	№11	№12
№13	№14	№15
№16	№17	№18
№19	№20	№21
№22	№23	№24
№25	№26	№27
№28	№29	№30

Задание 8.

Задача класса «А». Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Общая схема исследования:

1) найти критические точки, лежащие внутри отрезка ;

2) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть найти и ;

3) сравнив найденные значения функции на концах отрезка со значениями функции в критических точках, выбрать наибольшее и наименьшее;

4) построить схематический график.

Варианты для самостоятельного решения.

№ 1	№ 2	№ 3
№ 4	№ 5	№ 6
№ 7	№ 8	№ 9
№ 10	№ 11	№ 12
№ 13	№ 14	№ 15
№ 16	№ 17	№ 18
№ 19	№ 20	№ 21
№ 22	№ 23	№ 24
№ 25	№ 26	№ 27
№ 28	№ 29	№ 30