Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

(1)

Это означает, что функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке х₀ (т.е. существует f(x₀));

2) имеет конечный предел функции при х→х₀;

3) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Т.к. =x₀, то равенство (1) можно придать следующую форму:

-т.е. предел функции равен значению функции от предела аргумента. Т.о. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если любому, сколь угодно малому, e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что |x-x₀|<δ выполняется неравенство |f(х)- f(x₀)|<e.

e>0 δ=δ(e) x: |x-x₀|<δ |f(х)- f(x₀)|<e

(Здесь нет запрета х≠х₀).

Определение 3 (в терминах окрестности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число δ=δ(Е), что для всех х, попадающих в d-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в e-окрестность величины f(x₀) (здесь окрестность не выколотая):

W(f(x₀)) V(x₀): x V(x₀) f(х) W(f(x₀)) (рисунок)

Определение 4 (в терминах последовательности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к f(x₀). (Здесь нет запрета x_n≠x₀).

Дата добавления: 2015-07-11