Непрерывность элементарных функций (продолжение).

1. y=arcsin x

Рассмотрим функцию x=sin y. Эта функция определена и непрерывна на всей осей, а на промежутке она ещё и строго возрастающая. Значит, рассматривая ее для уÎ , можно применить к ней теорему для обратной функции. По теореме об обратной функции, функция y=arcsin x будет определена на промежутке [-1;1] и будет строго возрастающей и непрерывной на этом промежутке. (График)

2. y=arcсоs x

Рассмотрим функцию x=соs y. Эта функция определена и непрерывна на всей осей, а на промежутке [0;p] она ещё и строго убывающая. Значит, рассматривая ее для уÎ[0;p], можно применить к ней теорему для обратной функции. По теореме об обратной функции, функция y=arccos x будет определена на промежутке [-1;1] и будет строго убывающей и непрерывной на этом промежутке.

3. y=arctg x

Рассмотрим функцию x=tg y. Эта функция определена на промежутке , строго возрастает и непрерывна. Имеем , .

Рассматривая функцию x=tg y для уÎ , приходим к выводу, что функция y=arctg x определена, непрерывна и строго возрастает на промежутке (-¥,+¥).

4. y=arcсtg x

Рассмотрим функцию x=сtg y. Эта функция определена на промежутке (0,p), строго убывает и непрерывна. Имеем , .

Рассматривая функцию x=сtg y для уÎ(0,p), приходим к выводу, что функция y=arсctg x определена, непрерывна и строго убывает на промежутке (-¥,+¥).

5. Логарифмическая функция (a>0, a≠0)

Функция является обратной для показательной функции х=а^у, уÎ(-¥,+¥).

а) Пусть а>1. В этом случае функция х=а^у – строго возрастающая и непрерывная на промежутке (-¥,+¥). Имеем , .

Следовательно, если a>1, то функция определена, непрерывна и строго возрастает в промежутке (0,+¥).

б) Пусть 0<а<1. В этом случае функция х=а^у – строго убывающая и непрерывная на промежутке (-¥,+¥).

Имеем , .

Следовательно, если 0<а<1, то функция определена, непрерывна и строго убывает в промежутке (0,+¥).

6. Общая степенная функция у=х^r, где r – любое вещественное число (rÎR).

В качестве определения общей степенной функции у=х^r при любом вещественном r и хÎ(0,+¥) принимаем выражение: y=x^r=e^{r ln x}, хÎ(0,+¥).

Имеем y=e^u, где u=r ln x r. Видим, что функция у=х^r, хÎ(0,+¥), где r – любое вещественное число, будет непрерывна на промежутке (0,+¥) как суперпозиция непрерывных функций.

Дата добавления: 2015-07-11