Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) определены в одном и том же промежутке X и непрерывны в точке х₀, то в этой же точке будут непрерывны и функции

f(x)±g(x), f(x)×g(x), (последняя при условии, что g(x₀)≠0).

Доказательство. Вытекает из теорем о пределе алгебраической суммы, произведения и частного двух функций, имеющих пределы.

Докажем, в качестве примера, непрерывность .

Т.к. функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то и

По теореме о пределе частного (т.к. предел знаменателя не нуль), имеем:

, а это и означает, что функция непрерывна в точке х₀.ч.т.д.

Теорема 2. Непрерывность сложной функции.

Пусть даны функции f и φ: . Если функция φ(х) непрерывна в точке х₀ÎХ, а функция f(u) непрерывна в точке u₀ÎU, то функция F=f(φ(x)) будет непрерывна в точке х₀.

Доказательство 1. Возьмем e>0. Т.к. функция f(u) непрерывна в точке u₀ÎU, то можно указать такое число σ>0, что для всех uÎU таких, что |u-u₀|<σ выполняется неравенство |f(u)- f(u₀)|<e.

e>0 σ=σ(e) u: |u-u₀|<σ |f(σ)- f(σ₀)|<e

Т.к. φ(х) непрерывна в точке х₀ÎХ, то можно указать такое число δ>0, что для всех хÎХ таких, что |x-x₀|<δ выполняется неравенство |φ(х)- φ(x₀)|<e.

e>0 δ=δ(e) x: |x-x₀|<δ |φ(х)- φ(x₀)|<e.

Из полученных соотношений следует, что если |x-x₀|<δ, то функция F=f(φ(x)) определена и выполняется неравенство |f(φ(х))-f(φ(x₀))|<e. А это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х₀. Ч.т.д.

Доказательство 2. Возьмем произвольную последовательность {x_n} такую, что x_n→x₀, n→¥. Тогда, в силу непрерывности функции φ(х) в точке х₀, будет: φ(х_n)→φ(x₀), при n→¥. Т.е. u_n→u₀, n→¥ (т.к. x_nÎX, то u_n=φ(х_n)ÎU при всех n).

Т.к. u_n→u₀, n→¥, то в силу непрерывности f(u) в точке u₀, имеем:

f(u_n)→f(u₀), n→¥, т.е. f(φ(x_n))→f(φ(x₀)), n→¥, а это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х₀. Ч.т.д.

Из теоремы 2 следует:

т.е под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пример.

Дата добавления: 2015-07-11