Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Читайте также:
  1. VII. ДОКУМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
  2. XIII. Сливоналивные операции с сжиженным углеводородным газом
  3. Активные валютные операции
  4. Анестезия при ОПЕРАЦИИ КЕСАрЕВА СЕЧЕНИЯ
  5. Арифметические выражения в алгоритмическом языке
  6. Арифметические действия с непрерывными функциями.
  7. Арифметические операции

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) определены в одном и том же промежутке X и непрерывны в точке х0, то в этой же точке будут непрерывны и функции

f(x)±g(x), f(x)×g(x), (последняя при условии, что g(x0)≠0).

Доказательство. Вытекает из теорем о пределе алгебраической суммы, произведения и частного двух функций, имеющих пределы.

Докажем, в качестве примера, непрерывность .

Т.к. функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то и

По теореме о пределе частного (т.к. предел знаменателя не нуль), имеем:

, а это и означает, что функция непрерывна в точке х0.ч.т.д.

Теорема 2. Непрерывность сложной функции.

Пусть даны функции f и φ: . Если функция φ(х) непрерывна в точке х0ÎХ, а функция f(u) непрерывна в точке u0ÎU, то функция F=f(φ(x)) будет непрерывна в точке х0.

Доказательство 1. Возьмем e>0. Т.к. функция f(u) непрерывна в точке u0ÎU, то можно указать такое число σ>0, что для всех uÎU таких, что |u-u0|<σ выполняется неравенство |f(u)- f(u0)|<e.

e>0 σ=σ(e) u: |u-u0|<σ |f(σ)- f(σ0)|<e

Т.к. φ(х) непрерывна в точке х0ÎХ, то можно указать такое число δ>0, что для всех хÎХ таких, что |x-x0|<δ выполняется неравенство |φ(х)- φ(x0)|<e.

e>0 δ=δ(e) x: |x-x0|<δ |φ(х)- φ(x0)|<e.

Из полученных соотношений следует, что если |x-x0|<δ, то функция F=f(φ(x)) определена и выполняется неравенство |f(φ(х))-f(φ(x0))|<e. А это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х0. Ч.т.д.

Доказательство 2. Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Тогда, в силу непрерывности функции φ(х) в точке х0, будет: φ(хn)→φ(x0), при n→¥. Т.е. un→u0, n→¥ (т.к. xnÎX, то un=φ(хn)ÎU при всех n).

Т.к. un→u0, n→¥, то в силу непрерывности f(u) в точке u0, имеем:

f(un)→f(u0), n→¥, т.е. f(φ(xn))→f(φ(x0)), n→¥, а это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х0. Ч.т.д.

Из теоремы 2 следует:

т.е под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пример.


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 327 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. | Точки разрыва и их классификация. | Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке. | Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции). | Равномерная непрерывность функций. | Теорема (б.д.). | Непрерывность элементарных функций (продолжение). |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Пример.| Примеры непрерывных функций.

mybiblioteka.su - 2015-2020 год. (0.007 сек.)