Пример. а) у= в точке х=0 не определена.

а) у= в точке х=0 не определена.

б) у= не существует предела в точке х=0 (существуют только односторонние пределы: слева и справа ).

в) у= =1.

г) у=х² – непрерывная функция в точке х=0, т.к. выполнены все 3 условия непрерывности.

у

х

а)

у

х

г)

у

х

-1

б)

у

х

в)

у

х

-1

Примеры разрывных функций.

1) f(x)=sign x, f(x)=

Не существует . В точке х₀=0 функция разрывна.

Замечание. Пусть х₀ÎХ и хÎХ и пусть х=х₀+∆х, следовательно ∆х=х-х₀.

Величина ∆х называется приращением аргумента (∆х может быть как положительной, так и отрицательной).

Пусть у₀=f(x₀), y=f(x)=f(x₀+∆x).

Величина ∆y=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) называется приращением функции f(x) в точке х₀, соответствующим приращению аргумента Dх (∆у может быть как положительной, так и отрицательной).

Предположим, что функция f(x) – непрерывна в точке х₀. Это означает, что

или =0, или .

Следовательно, можно сказать, что

Теорема. Функция у=f(x) будет непрерывной в точке х₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента Dх соответствует бесконечно малое приращение функции Dу, т.е. =0.

Эта теорема дает эквивалентное определение непрерывности.

Аналогично определению правостороннего и левостороннего пределов функции f(x), можно определить правостороннюю и левостороннюю непрерывность функции f(x) в точке х₀.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х₀, если

.

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х₀, если .

Утверждения. 1) Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ в обычном смысле, то она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.

2) Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ одновременно и справа, и слева, то она непрерывна в этой точке и в обычном смысле.

Определение. Функция f(x) непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Функция f(x) непрерывна на [a,b], если она непрерывна в обычном смысле в каждой внутренней точке этого промежутка и если она непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

Дата добавления: 2015-07-11