Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.

Первая теорема Больцано-Коши. (Теорема об обращении функции в ноль)

Теорема 1. Пустьфункция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков (т.е. f(a)∙f(b)<0), то внутри отрезка найдется такая точка с (a,b) такая, что f(с)=0. (Рисунок)

Замечание. Эта теорема есть достаточное условие для разрешимости уранвений вида f(x)=0. На ней основывается метод интервалов.

Доказательство.

b

а

c

у

х

1) Пусть для определенности f(a)>0, f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] пополам, получим точку с₁= . Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c₁)=0 – тогда точка с₁-искомая

2) f(c₁)≠0, т.е. либо f(с₁)>0, либо f(с₁)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a,с₁] и [с₁,b] функция принимает значения разных знаков.

Обозначим этот отрезок I₁=[a₁,b₁]. Разделим отрезок I₁ пополам точкой с₂= . Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c₂)=0 – тогда точка с₁-искомая

2) f(c₂)≠0, т.е. либо f(с₂)>0, либо f(с₂)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a₁,с₂] и [с₂,b₁] функция принимает значения разных знаков. И т.д. до бесконечности. Если на некотором шаге мы получим точку c_k такую, что f(c_k)=0, то теорема доказана.

В противном случае мы получим последовательность вложенных отрезков:

I₁ÉI₂É…ÉI_kÉ…

На k-м шаге получим отрезок I_k=[a_k,b_k] такой, что f(a_k)>0 f(b_k)>0

Согласно лемме о вложенных отрезках сÎI_k, k=1,2,…

a₊

b_-

a_k+

b_k-

c

Покажем, что f(с)=0.

Последовательность левых концов а_k→c, k→¥

Последовательность правых концов b_k→c, k→¥

Т.к. 0£с-а_k£êI_kê= и 0→0,k→¥ и →0,k→¥, то, по теореме о пределе промежуточной функции, с-а_k→0,k→¥, т.е. а_k→с,k→¥,

По условию, функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а значит непрерывна и в точке сÎ[a,b]. Следовательно, f(c)= =

Но f(a_k)>0 и ³0, а f(b_k)<0 и £0.

Получили, что f(c)³0 и f(c)£0, следовательно, f(c)=0. ч.т.д.

Замечание. Требование непрерывности функция f(x) во всех точках отрезка [a,b] существенно. Например, рассмотрим функцию f(x)= на отрезке [-1,1]. Хотя на концах этого отрезка функция и принимает значения разных знаков, но в нуль на [-1,1] не обращается, т.к. не является непрерывной в точке х=0.

Дата добавления: 2015-07-11