Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Примеры непрерывных функций.

Читайте также:
  1. А) Примеры описания самостоятельных изданий
  2. Анатомо-морфологическая база высших психических функций.
  3. б) Примеры описания составных частей изданий
  4. Билет 8. Классическое определение вероятности. Примеры.
  5. Билет 9. Статистическое определение вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Примеры.
  6. Вопрос № 8. Культурно-историческая концепция психического развития. Понятие высших психических функций.
  7. Все приведенные до сих пор примеры представляли собой случаи модификации ребенком основы глагола. Детские иннова-

1) f(x)ºС, хÎ(-¥;+¥) – непрерывна в любой точке х0Î(-¥;+¥).

Действительно, пусть точка х0 – любая из (-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x1)=С, f(x2)=С, …, f(xn)=С, ….

f(xn)→С=f(x0), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х0. Т.к. точка х0 – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x) непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

Или DС=С-С=0.

2) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)

Выберем произвольную точку х0Î(-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x1)=x1, f(x2)=x2, …, f(xn)=xn, ….

f(xn)→x0=f(x0), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х0. Т.к. точка х0 – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x)=х непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

3) f(x)=xn, xÎ(-¥;+¥), nÎN

Эта функция непрерывна в промежутке (-¥;+¥), т.к. f(x)=х∙х∙…∙х. Следовательно, f(x)=xn непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как произведение конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

4) f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an, xÎ(-¥;+¥), nÎN – целая рациональная функция, полином – непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как сумма конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

5) , nÎN, mÎN - дробная рациональная функция- непрерывна в любой такой точке х0Î(-¥;+¥), в которой знаменатель отличен от нуля, т.е. f(x) непрерывная в каждой точке своей области определения.

6) Покажем, что функция f(x)=sin x непрерывна на всей своей области определения, т.е. на R=(-¥;+¥).

Возьмем х0. e>0 δ=δ(e) x: |x-x0|<δ |sin x - sin x0|<e

Рассмотрим |sin x - sin x0|=2 £2 £2 =|x-x0|

(т.к. |sin x| <|x-x0|)Т.о. |sin x - sin x0|£|x-x0|

Возьмем δ=e, тогда x: |x-x0|<δ=e |sin x - sin x0|<e. Т.е.

7) Аналогично доказывается непрерывность функции f(x)=cos x.

8) ,

9) Аналогично ,

Все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0ÎХ. Тогда существует окрестность V(x0) точки х0, на которой функция ограничена. Т.е.

и

Доказательство. Т.к. f(x) непрерывна в точке х0, то

Возьмем e=1 и оценим êf(x)ê=êf(x)-f(x0)+f(x0)ê£êf(x)-f(x0)ê+ êf(x0)ê<1+êf(x0)ê

Т.о. êf(x)ê<1+êf(x0)ê, т.е. f(x) – ограничена. Ч.т.д.

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0ÎХ и f(x0)≠0. Тогда существует окрестность V(x0) точки х0, на которой

Причем, если f(x0)>0, (xÎV(x0))

если f(x0)<0, (xÎV(x0))

Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 101 | Нарушение авторских прав

Читайте в этой же книге: Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. | Пример. | Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке. | Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции). | Равномерная непрерывность функций. | Теорема (б.д.). | Непрерывность элементарных функций (продолжение). |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Арифметические операции над непрерывными функциями.| Точки разрыва и их классификация.
mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)