Читайте также:
|
1) f(x)ºС, хÎ(-¥;+¥) – непрерывна в любой точке х0Î(-¥;+¥).
Действительно, пусть точка х0 – любая из (-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x1)=С, f(x2)=С, …, f(xn)=С, ….
f(xn)→С=f(x0), при n→¥.
А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х0. Т.к. точка х0 – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x) непрерывна в промежутке (-¥;+¥).
Или DС=С-С=0.
2) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)
Выберем произвольную точку х0Î(-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x1)=x1, f(x2)=x2, …, f(xn)=xn, ….
f(xn)→x0=f(x0), при n→¥.
А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х0. Т.к. точка х0 – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x)=х непрерывна в промежутке (-¥;+¥).
3) f(x)=xn, xÎ(-¥;+¥), nÎN
Эта функция непрерывна в промежутке (-¥;+¥), т.к. f(x)=х∙х∙…∙х. Следовательно, f(x)=xn непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как произведение конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.
4) f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an, xÎ(-¥;+¥), nÎN – целая рациональная функция, полином – непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как сумма конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.
5) 
, nÎN, mÎN - дробная рациональная функция- непрерывна в любой такой точке х0Î(-¥;+¥), в которой знаменатель отличен от нуля, т.е. f(x) непрерывная в каждой точке своей области определения.
6) Покажем, что функция f(x)=sin x непрерывна на всей своей области определения, т.е. на R=(-¥;+¥).
Возьмем х0. 
e>0 
δ=δ(e) x: |x-x0|<δ 
|sin x - sin x0|<e
Рассмотрим |sin x - sin x0|=2 
£2 
£2 
=|x-x0|
(т.к. |sin x| <|x-x0|)Т.о. |sin x - sin x0|£|x-x0|
Возьмем δ=e, тогда x: |x-x0|<δ=e |sin x - sin x0|<e. Т.е. 
7) Аналогично доказывается непрерывность функции f(x)=cos x. 
8) 
, 
9) Аналогично 
, 
Все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0ÎХ. Тогда существует окрестность V(x0) точки х0, на которой функция ограничена. Т.е.
и 
Доказательство. Т.к. f(x) непрерывна в точке х0, то
Возьмем e=1 и оценим êf(x)ê=êf(x)-f(x0)+f(x0)ê£êf(x)-f(x0)ê+ êf(x0)ê<1+êf(x0)ê
Т.о. êf(x)ê<1+êf(x0)ê, т.е. f(x) – ограничена. Ч.т.д.
Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0ÎХ и f(x0)≠0. Тогда существует окрестность V(x0) точки х0, на которой
Причем, если f(x0)>0, 
(xÎV(x0))
если f(x0)<0, 
(xÎV(x0))
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 101 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Арифметические операции над непрерывными функциями. | | | Точки разрыва и их классификация. |