Точки разрыва и их классификация.

Как было сказано выше, функция f(x) непрерывна в точке х₀, если

Если в точке х₀ это двойное равенство не выполняется, то точка х₀ называется точка разрыва функции.

Точками разрыва будем называть также точки, в которых f(x) не определена, но в любой d-окрестности которых имеются точки области определения функции f(x).

Классификация точек разрыва.

Пусть =f(x₀+0)=А₊ и =f(x₀-0)=А _– правый и левый односторонний пределы.

1)

х

у

х₀

А₊=А_-

f(x₀)

А₊=А_-≠f(x₀) - х₀ – точка устранимого разрыва.

(можно доопределить функцию в точке х₀: f(x₀)=f(x₀+0)=f(x₀-0))/

2) Существуют конечные пределы =f(x₀+0)=А₊ и =f(x₀-0)=А _–, но А₊≠А_- f(x₀) - х₀ – точка разрыва 1-го рода.

А₊-А_- - скачок функции в точке х₀.

х₀

А₊

f(x₀)

х

у

A_-

Пример. f(x)=

Эта функция определена всюду, кроме точки х₀=0, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х₀=0 – точка разрыва функции f(x)= .

= , =

Т.о. существуют конечные односторонние пределы, но они не равны. Значит, х₀=0 – точка разрыва 1-го рода.

Величина скачка функции в этой точке: f(+0)-f(-0)= =p.

3) Если в точке х₀ не существует хотя бы один из односторонних пределов или в точке х₀ хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то х₀ – точка разрыва 2-го рода.

Например, функция - определена всюду, кроме точки х₀=2, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х₀=2 – точка разрыва функции f(x). Т.к. функция не имеет предела при х→2, то это точка разрыва 2-го рода.

х

у

2) Функция у= - в точке х=3 имеет точку разрыва 2-го рода, т.к. односторонние пределы бесконечны.

= , =

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

f(x)=

Функции у=х³+1, у=2 и у=3х непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрыв только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х₁=1 и х₂=2.

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего соответствующие найдем односторонние пределы и значения функции.

1) В точке х₁=1.

значение f(1) - неопределенно

Т.о. , т.е. точка х₁=1 – точка устранимого разрыва функции.

2) В точке х₂=2

f(2)=2

Т.о. f(2)=2, т.е. точка х₂ – точка разрыва 2-го рода.

Скачок функции в точке х₂: 6-2=4.

Дата добавления: 2015-07-11