Пример.

Уровень рентабельности и удельный вес продукции собственного производства и покупной в товарообороте предприятий характеризуется следующими данными за год (таблица 2.1).

Определить:

1) Параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей:

а) параметры уравнений зависимостей для каждого фактора;

б) коэффициент и индекс корреляции;

в) коэффициент устойчивости связи для каждого из факторов;

г) параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.

2) Нормативные уровни факторов и результативного показателя:

а) нормативный уровень результативного показателя при изменении каждого из факторов на единицу;

б) нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя на единицу;

в) степень интенсивности использования факторов для обеспечения формирования среднего уровня результативного признака.

Данные за год Таблица 2.1

Номер предприятия	Удельный вес в товарообороте, %	Уровень рентабельности, % y
продукции собственного производства х	покупной продукции z
	25,2	74,8	2,73
	58,2	41,8	5,41
	42,2	57,8	4,03
	46,8	53,2	4,40
	60,5	39,5	5,53
В среднем	46,58	53,42	4,42
Итого:	-	-	22,10

Решение

1) Параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей:

а) Параметры уравнений зависимостей для каждого фактора.

Для определения параметров уравнений зависимостей следует построить точечные графики зависимостей уровня рентабельности от удельного веса в товарообороте продукции собственного производства (у от х), уровня рентабельности от удельного веса покупной продукции (у от z), используя данные таблицы 2.1. Графики построены на рисунках 2.2 и 2.3.

Рисунок 2.2 – Зависимость у от х Рисунок 2.3 – Зависимость у от z

Анализируя данные таблицы 2.1 и рисунков 2.2 и 2.3 приходим к выводу, что результативный признак изменяется линейно. Причем, при росте х наблюдается рост у – прямая зависимость. И, наоборот, при росте у происходит снижение z – обратная зависимость.

Расчет параметров уравнений зависимостей представлен в таблице 2.2.

Зависимость y от х: Y_x = Y_min (1 + b _x d _x), где у_min – минимальное значение результативного признака; b_x – параметр уравнения зависимости: ; d_x - коэффициент сравнения: .

Расчет параметров уравнений зависимостей y от x, y от z Таблица 2.2

Номер предприятия	d x	d z	d y	Теоретические значения уровня рентабельности, %	/y-yx /	/y-yz /
yx	yz
				2,73	2,73
	1,31	0,44	0,98	5,34	5,34	0,07	0,07
	0,67	0,23	0,48	4,07	4,09	0,04	0,06
	0,86	0,29	0,61	4,44	4,45	0,04	0,05
	1,41	0,47	1,03	5,54	5,51	0,01	0,02
Итого:	4,25	1,43	3,1	22,12^*	22,12	0,16	0,2
^* При правильно выполненных расчетах сумма эмпирических и теоретических величин y совпадает (∑y = ∑yx)

В примере

y_min = 2,73, y_x = 2,73 (1 + 0,73 d _x).

y_x: 1) 2,73 (1 + 0,73 · 0) = 2,73;

2) 2,73 (1 + 0,73 · 1,31) = 5,34; и т.д.

Зависимость y от z: Y _x= Y _min (1 + b _z d _z), d _z = , b _z = .

Y _min = 2,73; y_z = 2,73 (1 + 2,17 · d _z)

y_z: 1) 2,73 (1 + 2,17 · 0) = 2,73;

2) 2,73 (1 + 2,17 · 0,44) = 5,34;

б) Коэффициент и индекс корреляции.

Коэффициент корреляции определим по формулам:

.

Исходные данные для расчета коэффициента корреляции представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

№	d x	d z	d y	d x d y	d z d y	d x^2	d z^2	d y^2
	1,31	0,44	0,98	1,28	0,43	1,72	0,19	0,96
	0,67	0,23	0,48	0,32	0,11	0,45	0,05	0,23
	0,86	0,29	0,61	0,52	0,18	0,74	0,08	0,37
	1,41	0,47	1,03	1,45	0,48	1,99	0,22	1,06
Итого:	4,25	1,43	3,1	3,57	1,20	4,9	0,54	2,62

Если r > 0,7 – сильная связь; 0,3 ≤ r ≤ 0,7 – средняя; r < 0,3 – слабая.

Т.о., между факторным и результативным признаком существует тесная связь.

Индекс корреляции определим по формулам:

, .

Исходные данные для расчета индекса корреляции представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4

№	y	yx	yz	d y			d y^2	(dy-dy x)^2	(dy-dy z)^2
	2,73	2,73	2,73
	5,41	5,34	5,34	0,98	0,96	0,96	0,96	0,0004	0,0004
	4,03	4,07	4,09	0,48	0,49	0,50	0,23	0,0001	0,0004
	4,40	4,44	4,45	0,61	0,63	0,63	0,37	0,0004	0,0004
	5,53	5,54	5,51	1,03	1,03	1,02	1,06		0,0001
Итого:	22,10	22,12	22,12	3,1	3,11	3,11	2,62	0,0009	0,0013

, .

Расчет индекса корреляции показывает, что уровни коэффициента и индекса корреляции практически совпадают (разница не превышает 0,01). Это подтверждает вывод о правильности выбора типа уравнения для характеристики взаимосвязи.

в) Коэффициент устойчивости связи для каждого из факторов

определим по формуле:

, .

Исходные данные для расчета коэффициента устойчивости связи представлены в таблице 2.5.

Таблица 2.5

№	d x	d z	d y	b x d x	b z d z	/d y-b x d x /	/d y-b z d z /
	1,31	0,44	0,98	0,96	0,95	0,02	0,03
	0,67	0,23	0,48	0,49	0,50	0,01	0,02
	0,86	0,29	0,61	0,63	0,63	0,02	0,02
	1,41	0,47	1,03	1,03	1,02		0,01
Итого:	4,25	1,43	3,1	3,11	3,1	0,05	0,08

Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует об очень высоком его уровне. Это свидетельствует об адекватности полученных уравнений зависимостей и целесообразности рассмотрения данной зависимости.

г) Параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.

Уравнение множественной зависимости примет вид:

Y_xz = Y_min[1 + b (d _x + d _z)], где b – совокупный параметр многофакторной зависимости, .

В примере

Y_xz = 2,73 [ 1 + 0,55 · (d _x + d _z)]

Y_xz: 1) 2,73 [1 + 0,55 · (0 + 0)] = 2,73

2) 2,73 [1 + 0,55 · (1,31+ 0,44)] = 5,36 и т.д.

Расчет параметров многофакторного уравнения зависимости позволяет получить оценку взаимодействия факторов в их формировании результативного показателя, т.е. определить коэффициент зависимости или долю влияния каждого из факторов. Этот расчет выполним по формулам: . Получим , .

В таблице 2.6 представлены исходные данные для расчета параметров уравнения множественной зависимости.

Таблица 2.6

№ предприятия	Факторы	y	d x	d z	d y	d x+d z	y xz	/ y-y xz /
x	z
	25,2	74,8	2,73					2,73
	58,2	41,8	5,41	1,31	0,44	0,98	1,75	5,36	0,05
	42,2	57,8	4,03	0,67	0,23	0,48	0,90	4,08	0,05
	46,8	53,2	4,40	0,86	0,29	0,61	1,15	4,46	0,06
	60,5	39,5	5,53	1,41	0,47	1,03	1,88	5,55	0,02
Итого:	-	-	22,10	4,25	1,43	3,1	5,68	22,18	0,18

2) Нормативные уровни факторов и результативного признака:

а) Нормативный уровень результативного показателя при изменении каждого из факторов на единицу (уменьшение при обратной зависимости; увеличение при прямой связи.

y_н = y_min [1 + B (d _xн + d _zн)].

y_н = 2,73 · [1 + 0,55 · (0,96 + 0,01)] = 4,19

, .

Тогда ,

Таким образом, при изменении уровней факторных признаков на единицу результативный признак будет равен 4,19. При этом х должен быть равен 26,2, а z – 73,8.

б) Нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя на единицу.

. Тогда .

Нормативные уровни факторов вычисляем по следующим формулам:

- при прямой зависимости:

, тогда

- при обратной зависимости:

, тогда .

Таблица 2.7

Сравнительная таблица фактических и нормативных уровней факторов для обеспечения возрастания уровня результативного показателя на единицу

Факторы	Уровни факторов	Уменьшение (-), увеличение (+) фактических уровней факторов
Максимальные (при обратной зависимости), минимальные (при прямой зависимости)	нормативные
X	25,2	37,97	+12,77
Z	74,8	62,05	-12,75

Из таблицы 2.7 видно, что для обеспечения возрастания уровня рентабельности на единицу необходимо увеличить Х на 12,77 и уменьшить Z на 12,75.

в) Степень интенсивности использования факторов для обеспечения формирования среднего уровня результативного признака.

В качестве у_н в данном случае выступает среднее значение результативного признака: y_н = y_ср = 4,42.

, тогда .

Оптимальные уровни факторов, формирующих среднюю величину результативного признака, составляют:

- прямая зависимость:

, тогда .

- обратная зависимость:

, тогда .

Таблица 2.8

Сравнительная таблица фактических средних и рассчитанных оптимальных уровней факторов

Факторы	Уровни факторов	Оптимальные уровни в % к фактическим
фактические средние	оптимальные
X	46,58	46,60	100,04
Z	53,42	53,43	100,02

Из расчетов таблицы 2.8 видно, что интенсивность использования обоих факторов одинакова.

---

Дата добавления: 2015-07-14