Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Пусть – непрерывная случайная величина, которая может принимать всевозможные значения на отрезке и имеет плотность распределения . Разобьем промежуток на частей точками .

Получим отрезки , , …, . Выберем на каждом из них произвольную точку . Согласно вероятностному смыслу плотности распределения равна вероятности попадания случайной величины на интервал .

Используя формулу для математического ожидания дискретной случайной величины получим: .

Если и , то дискретная величина будет все меньше отличаться от непрерывной величины

Функция – непрерывна, тогда имеем:

.

Следовательно, математическое ожидание непрерывной случайной величины возможные значения которой принадлежат отрезку , вычисляется как определенный интеграл:

. (5.7)

Аналогично, если , то .

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Если , то:

, (5.8)

или . (5.9)

Если , то: , (5.10)

или . (5.11)

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины :

. (5.12)

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Модой непрерывной случайной величины называют такое значение случайной величины, для которого дифференциальная функция максимальна.

Медианой называют такое значение случайной величины, для которого выполняется равенство .

Геометрически медиану можно определить как точку, в которой ордината функции разделяет пополам площадь, под кривой распределения (дифференциальной).

Моменты непрерывной случайной величины:

а) начальный момент -го порядка:

; (5.13)

б) центральный момент -го порядка:

. (5.14)

Пример 5. Задана дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти интегральную функцию распределения . Изобразить графики функций и . Найти .

Решение.

Функцию распределения найдем по формуле (5.4):

.

Если , то , откуда ;

если , то:

;

если , то:

.

Окончательно имеем:

Построим графики функций и (рис. 4):

Рис. 4. Графики плотности распределения и функции распределения

Найдем числовые характеристики:

;

; .

Дата добавления: 2015-07-14