Плотность распределения вероятностей и ее свойства

Дифференциальная функция распределения вероятностей (плотность распределения) это есть производная от интегральной функции распределения :

. (5.3)

Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция (плотность распределения случайной величины ), для которой выполняется равенство:

.

Таким образом, поиск интегральной функции, если задана дифференциальная, связан с решением обратной задачи:

. (5.4)

Действительно , поскольку ( – событие невозможное).

Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу :

,

то есть

. (5.5)

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла можем сделать следующее заключение: вероятность численно равна площади фигуры, которая ограничена прямыми , , и кривой .

Свойства дифференциальной функции распределения :

1. Функция неотрицательная: .

Это свойство следует из того, что производная от неубывающей функции является функцией неотрицательной.

2. Если , то:

. (5.6)

Действительно , так как – достоверное событие.

3. Если , то .

Пример 4. Задана плотность распределения случайной величины :

Найти: а) параметр ; б) функцию ; в) . Изобразить графики функций и .

Решение:

а) поскольку , то .

Откуда имеем .

Следовательно, и

б) так как , то:

если , ;

если , ;

если , .

Следовательно

в)

или .

Графики интегральной и дифференциальной функций распределения и изображены на рис. 3.

Рис. 3. Графики функций и

Вероятностный смысл плотности распределения

Если – функция распределения непрерывной случайной величины , то:

, то есть .

Известно, что .

Учитывая, что

, а ,

имеем:

.

Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (при ) приближенно равна произведению дифференциальной функции на длину интервала , т. е. дифференциальная функция выступает в роли плотности распределения вероятностей.

Дата добавления: 2015-07-14