Функция распределения вероятностей и ее свойства

Функция распределениявероятностей – это есть вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее :

. (5.1)

Пример. .

Свойства функции распределения:

1. Значение функции принадлежат отрезку (по определению): .

2. Интегральная функция является неубывающей функцией:

, если .

Действительно, если , то:

.

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал , равна разности функции на концах интервала:

. (5.2)

Действительно,

.

4. Вероятность попадания случайной величины в точку равна нулю: .

Действительно, .

Следствие.

.

5. Если значения случайной величины принадлежат интервалу , то при , при .

Пример 1. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение: а) в интервале ; б) меньшее ; в) меньшее ; г) не меньшее ; д) не меньшее .

Решение:

а) ;

б) , ;

в) , ;

г) , так как , то

;

д) , .

Для дискретной случайной величины аналогом интегральной функции распределения является эмпирическая функция распределения (кумулята), графиком которой является ступенчатая линия.

Пример 2. Задан ряд распределения:

	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

Построим график (рис. 1) полученной функции.

Рис. 1. График функции распределения

Точками разрыва графика является значения , в которых изменяет свое значение. Если случайная величина задана интервалами, то эмпирическую функцию можно построить ломаной линией.

Пример 3. Заданы возможные интервалы значений случайной величины и их вероятности:

	0,5	0,2	0,3

Решение.

Найдем функцию распределения и построим ее график (рис. 2).

Рис. 2. Эмпирическая интегральная функция распределения

Дата добавления: 2015-07-14