Случайных величин

Задать закон распределения случайной величины, значит задать ее ряд распределения, то есть указать возможные значения случайной величины и их вероятности. В зависимости от способа вычисления вероятностей различают законы распределения.

Биномиальное распределение

Пусть происходит независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Обозначим через число испытаний, в которых событие появилось. Случайная величина может принимать значения . Вероятность того, что случайная величина примет значение можно вычислить по формуле Бернулли (4.1), то есть:

, (4.11)

где .

Закон распределения, в котором вероятность случайной величины вычисляется по формуле Бернулли, называется биномиальным законом распределения.

Данный закон распределения имеет вид:

				…
				…

Если – большое число, то вероятности вычисляются по формуле Муавра – Лапласа: , где .

Найдем числовые характеристики биномиального закона распределения. Случайную величину можно рассматривать как сумму независимых одинаково распределенных случайных величин с рядом распределения:

где – появление события в -ом опыте, то есть , если событие появилось, и , если событие не появилось.

Тогда .

Поскольку математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, то:

. (4.12)

Дисперсия случайной величины равна:

Поскольку дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий, то:

. (4.13)

Среднее квадратическое отклонение биномиального распределения определяется формулой:

. (4.14)

Пример 4. Вероятность сдачи экзамена на «5» для каждого из трех студентов равна 0,4. Составить закон распределения количества отличных оценок, полученных студентами на экзамене. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Дискретная случайная величина (количество студентов, которые получили «5») имеет такие возможные значения:

(ни один студент не сдал экзамен на «5»);

(один студент сдал экзамен на «5»);

(два студента сдали экзамен на «5»);

(три студента сдали экзамен на «5»).

Сдача экзамена на «5» студентами – события независимые, вероятности сдать экзамен каждым студентом одинаковые, поэтому используем формулу Бернулли.

По условию задачи , , .

Тогда:

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

					, .
	0,216	0,432	0,288	0,064

По формулам (4.12), (4.13) получим: ; ; .

Закон распределения Пуассона

Если достаточно велико, а вероятность очень мала, то вероятность того, что случайная величина примет значение вычисляют по формуле Пуассона:

. (4.15)

Закон распределения в этом случае называют законом распределения Пуассона.

Данный закон распределения имеет вид:

				…		, где .
				…

Определим числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Поскольку закон Пуассона является предельным для биномиального закона при достаточно больших и достаточно малых , то математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, определяются по формулам:

, . (4.16)

Таким образом, .

Пример 5. Составить закон распределения случайной величины если в 1 000 независимых испытаниях событие появляется с вероятностью 0,001. Найти и .

Решение.

Имеем независимые испытания с одинаковой малой вероятностью и большим числом испытаний . Поэтому вероятности появления каждого отдельного значения вычислим по формуле (4.15) при .

Возможные значения случайной величины :

Запишем закон распределения величины :

	0,36788	0,36788	0,18394	0,06131	0,01533	0,00306	0,00051

.

Для вычисления математического ожидания и дисперсии используем формулу (4.16):

.

Дата добавления: 2015-07-14