Лабораторна робота К–4

Визначення моменту інерції тіла методом крутильних коливань

Мета роботи: вивчення крутильних коливань.

Гармонічними крутильними коливаннями будь якого тіла називається періодичний рух відносно осі, що проходить через центр інерції цього тіла, коли кут відхилення від положення рівноваги змінюється за законом синуса або косинуса:

j=j_оcosw_оt;

де j_о – амплітудне значення кута відхилення;

w_о – циклічна частота коливань (кутова швидкість руху).

Крутильні коливання виникають в пружних системах в тому випадку, коли окремі елементи цих систем в процесі коливань зазнають деформацію скруту. Якщо будь-яке тіло, що підвішене на довгому пружному дроті, повернути на деякий кут j, то деформація скруту дроту, яка виникає, приведе до появи пружних сил, момент М яких пропорційний куту повороту:

М=–сj, (1)

де с – модуль скруту, чисельно рівний моменту пари сил, що закручують дріт на кут в один рад. Знак “мінус” вказує на протилежність напрямків j та М.

Під дією пружних сил, що виникають в дроті, тіло почне коливатись. За основним законом динаміки обертального руху момент пружних сил пропорційний кутовому прискоренню e та моменту інерції гребного гвинта І:

М=eІ;

де .

Тоді

. (2)

Моментом інерції тіла відносно даної осі називається сума моментів інерції матеріальних точок, з яких складається тіло, відносно цієї ж осі. Моментом інерції матеріальної точки відносно даної осі називається скалярна величина, що дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані до осі обертання.

Моментом інерції дроту можна знехтувати, так як маса його набагато менша маси гребного гвинта та радіус поперечного перерізу дроту малий.

Прирівнявши праві частини виразів (1) та (2), запишемо

.або .

де .

Отримали однорідне диференційне рівняння другого порядку що описує гармонічні коливання гребного гвинта. Розв’язком такого рівняння є функція

f=j_osin w_ot.

Циклічна частота w_о гармонічних коливань пов’язана з періодом коливань . Підставивши значення w_о через модуль скруту та момент інерції, отримаємо

. (3)

Так як деформація скруту зводиться до деформації зсуву, то між модулем скруту с та модулем зсуву G матеріалу дроту існує просте співвідношення:

(4),

де r – радіус дроту;

l – довжина дроту.

Підставимо значення модуля скруту з (4) в формулу (3) та знайдемо момент інерції тіла:

. (5)

В цій роботі використовується пружній дріт довжиною 1,5–2 м, який верхнім кінцем затиснутий в кронштейні, встановленому на стіні. Вільний кінець дроту прикріплений до центра тіла. Закручення верхнього кінця дроту здійснюється спеціальним пристроєм, змонтованим на кронштейні. Досить потягнути вниз, а потім плавно відпустити шнур, зв’язаний з даним пристроєм. Таке закручення викличе крутильні коливання гвинта на дроті.

Дата добавления: 2015-10-23