Нерівноточних| вимірів

Наближеними значеннями до стандарту є середня квадратична|з'являються| і емпірична середня квадратична| похибки вимірюваної величини. Вони ж є|з'являються| абсолютними кількісними мірами точності результатів вимірів|вимірів| і їх функцій. При зрівнюванні нерівноточних| вимірів|вимірів| виникає необхідність вводити спеціальну міру точності. Такою мірою є вага, формула обчислення|підрахунку| якої (2.15) наведена в п.п. 2.5. Розглянемо|розглядуватимемо| детально фізичний сенс|зміст| цього поняття.

Вага це спеціальна характеристика відносної точності вимірів і їх функцій, обчислена як величина, обернено пропорційна квадрату стандарта, тобто дисперсії результатів випадкових вимірів.

Якщо існує ряд нерівноточних результатів вимірів l₁, l₂,…, l_n точність яких характеризується стандартами σ₁, σ₂,…, σ_n відповідно, то ваги, що характеризують їх відносну точність, визначаються відношеннями

де с – загальний коефіцієнт пропорційності.

Звідси випливає, що вибір с ізрівним квадрату стандарту σ_i² деякого результату виміри (реального або уявного) рівнозначний прийняттю ваги цього результату за одиницю.

Позначимо стандарт результату виміру, що має вагу, рівну одиниці символом .

Тоді рівняння (6.1) можна записати у наступному|слідуючому| вигляді|виді|:

Величину прийнято називати стандартом одиниці ваги, а його наближені значення відповідно середньою квадратичною похибкою одиниці ваги і емпіричною середньою квадратичною похибкою одиниці ваги.

Як випливає з наведених вище міркувань і виразів (6.1) і (6.2), результати рівноточних вимірів, що мають однакові стандарти, тобто σ₁=σ₂=…=σ_n матимуть однакову вагу, яку можна прийняти рівною одиниці p₁=p₂=…=p_n=1.

Очевидно, що результати нерівноточних| вимірів|вимірів|, отримані|одержувати| за різних умов, матимуть нерівні ваги. Визначимо значення простої арифметичної середини L незалежних нерівноточних| результатів вимірів|вимірів|. Для цього зробимо наступні|такі| математичні перетворення. На підставі формальних співвідношень (6.1) запишемо пропорцію

де σ – стандарт окремого виміру; σ_L – стандарт простої арифметичної середини.

Враховуючи результати обґрунтування другої властивості простої арифметичної середини, а саме формальні перетворення (5.3), можна записати

Підставляючи значення σ_L у пропорцію (6.3), отримаємо

Звідси випливає, що вага арифметичної середини незалежних нерівноточних| результатів вимірів|вимірів| в n разів більше ваги окремого
результату.

Припустивши|передбачати|, що стандарт одиниці ваги дорівнює середній квадратичній| похибці одиниці ваги (див. формулу (6.2)), формула (6.4) набере вигляду

Таким чином, вага арифметичної середини незалежних результатів вимірів одиничної ваги дорівнює кількості цих результатів. При обробці результатів однорідних вимірів їх ваги є безрозмірними величинами. Якщо ж результати вимірів мають різну розмірність, наприклад, довжини лінії виміряні в метрах, а горизонтальні кути в секундах, то вага буде іменованою величиною

6.2. Вага функцій результатів нерівноточних| вимірів|вимірів|

Для оцінки відносної точності функції незалежних результатів нерівноточних| вимірів|вимірів| скористаємося формулою, яка випливає з|із| доведення основної теореми теорії похибок, а саме формули (4.2)

Перетворимо отриману формулу з метою переходу в ній від стандартів σ до вагів р. Для цього піднесемо ліву і праву частину формули (4.2) до квадрату і підставимо замість квадратів стандартів σ_i² вирази (6.1) та, скоротивши ліву і праву частини на загальний множник c, отримаємо формальний запис

Розглянемо простий окремий випадок використання формули (6.6) для функції з однією змінною y = cx. Підставимо цю формулу до (6.6) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо або . Застосувавши цю рівність до кожного виміру , де l_i – результат i-го вимірювання, а p_i – його вага, отримаємо

Отже, з цих математичних побудов випливає, що якщо помножити результат вимірів на корінь квадратний з його ваги, то вага добутку дорівнюватиме одиниці, а його стандарт дорівнюватиме стандарту одиниці ваги .

З пропорції (6.2), отриманої на основі (6.1) запишемо . Перетворюючи цю формулу знайдемо вагу p_y і стандарт σ_y функції y=cx,

На основі нескладних математичних перетворень отримані|одержувати| формули, які пов'язують вагу функції результатів нерівноточних| вимірів|вимірів| із її точностними| характеристики.

Таким чином, для того, щоб знайти значення стандарту будь-якого результату виміру|виміру| або його функції, достатньо|досить| стандарт одиниці ваги розділити на корінь квадратний |із| ваги цього результату або його функції.

При визначенні ваг на практиці можливі два випадки:

1. Стандарти результатів вимірів|вимірів| відомі або можуть бути визначені теоретично. У цьому випадку для розрахунку вагів використовують вирази (6.1), (6.2) і (6.3).

2. У випадку, якщо|у разі, якщо| стандарти невідомі, то вагам можна дати приблизну оцінку, підставляючи у формулу (6.1) приблизні значення середніх або емпіричних середніх квадратичних| похибок, тобто

Розглянемо|розглядуватимемо| приклади|зразки| математичних побудов|шикувань| для розрахунку вагів у геодезичній практиці.

Приклад 6.1. Математичні перетворення для розрахунку ваги суми кутів теодолітного ходу, виміряних за однакових умов.

Особливістю розв’язання цієї задачі полягає в тому, що вимір кутів теодолітного ходу є рівноточним, тобто їх ваги p₁=p₂=…=p_n=1. Враховуючи цю особливість формула (6.6) набере наступний вигляд

Підставляючи до формули замість p_i, одиничне значення, маємо

тобто вага суми кутів|рогів| теодолітного| ходу обернено пропорційна|пропорціональна| кількості виміряних|виміряти| кутів|рогів| цього ходу.

Приклад 6.2. Математичні перетворення для розрахунку ваги лінійних вимірів полігонометричного (теодолітного) ходу. Графічна інтерпретація лінійних вимірів теодолітного ходу ілюструється рис. 6.1.

L

p_L

p₃

p₂

p₁

d_n

d₃

d₂

d₁

Рис. 6.1 – Ілюстрація до прикладу 6.2

У основу математичних перетворень для розрахунку ваги лінійних вимірів полігонометричного |вимірі| ходу покладений відомий в геодезії факт, що довжина ходу дорівнює сумі довжин його сторін. Цей факт математично можна записати у вигляді рівняння

Крім того, відомо, що стандарт довжини лінії за відсутності систематичних похибок пропорційний|пропорціональний| кореню квадратному від|із| довжини лінії

де μ_d – коефіцієнт випадкового впливу.

Тоді підставляючи до виразів (6.2) σ_d для кожної лінії отримаємо формули для обчислення ваги виміряних ліній

В отриманих|одержувати| виразах виділимо постійну величину і позначимо її

тоді на підставі|основі| (6.3) і з урахуванням|з врахуванням| виразів (6.11) і (6.12) отримаємо

Спростивши отриманий|одержувати| вираз|вираження|, маємо

Таким чином, вага лінійного виміру|вимірів| полігонометричного| ходу обернено пропорційна|пропорціональна| довжині ходу.

Приклад 6.3. Математичні перетворення для розрахунку ваги перевищення нівелірного ходу, прокладеного на рівнинній місцевості.

Якщо хід прокладений на рівнинній місцевості при середній відстані між рейками кількість станцій в ході буде дорівнювати .

Враховуючи формулу (6.6) запишемо

де p₁, p₂,…, p_n=1 – ваги виміряних перевищень на станції. Беручи до уваги, що на всіх станціях перевищення виміряні в однакових умовах (рівноточно), тобто p₁=p₂=…=p_n=p вираз (6.14) можна представити у вигляді

Позначивши отримаємо звідки випливає

Слід відзначити|помітити| рівність формул (6.13) і (6.15), тобто вага перевищення нівелірного|нівелір| ходу, прокладеного на рівнинній місцевості так само|місцевий|, як і за вимірів|вимірах| полігометричного| ходу (див. приклад|зразок| 6.2), обернено пропорційна|пропорціональний| довжині ходу.

Аналогічно|за аналогією| можна довести, що вага перевищення нівелірного|нівелір| ходу, прокладеного на пересіченій місцевості|місцевий|, обернено пропорційна|пропорціональна| кількості станцій, тобто

Таким чином, розглянуті|розглядувати| особливості математичних перетворень, що забезпечують оцінку відносної точності функції незалежних результатів нерівноточних| вимірів|вимірів|, а також приклади|зразки| математичних побудов|шикувань|, що дозволяють розраховувати ваги функціональних залежностей, отриманих|одержувати| з|із| геодезичної практики.

Дата добавления: 2015-10-29