Апостеріорна оцінка точності функцій виміряних|виміряти| величин

На практиці при апостеріорній оцінці точності функції y = f (x₁, x₂,…, x_t) виміряних величин X₁, X₂,…, X_t невідомі стандарти σ₁, σ₂,…, σ_t у формулі (4.2) замінюють середніми квадратичними похибками m₁, m₂,…, m_t. Тоді

Розрахунки виконуються в наступній|слідуючій| послідовності:

1. Функцію (4.1) записують|занотовують| в явному вигляді|виді|;

2. Знаходять|находять| частинні похідні цієї функції за всіма незалежними змінними (похідні найпоширеніших функцій приведені в додатку В);

3. Підставляють частинні похідні і середні квадратичні похибки до формули (4.21);

4. Виконують необхідні математичні перетворення і отримують|одержують| остаточний результат.

Приклад 4.1. За відомими результатами вимірів: перевищенням h_AB =12,6м, довжиною проекції лінії АВ d_AB = 468 м і оцінками їх точності (середніми квадратичними похибками) m_h = 0,1 м і m_d = 0,5 м відповідно, необхідно знайти середню квадратичну похибку ухилу лінії АВ, схематично зображеної на рис. 4.2.

Рис. 4.2 – Графічна інтерпретація ухилу

Рішення. Використовуючи рекомендовану послідовність оцінювання точності виміряних величин, задаймо в явному вигляді функцію виміру ухилу відому з геодезії

i = tgυ, де .

Підставляючи до формули чисельні значення, отримаємо

Другим кроком у розв’язанні поставленої задачі є знаходження частинних похідних функції за змінними h_AB і d_AB. Продиференціюємо цю функцію спочатку за змінною h_AB, зафіксувавши змінну d_AB, отримаємо , а після того за змінною d_AB зафіксувавши h_AB, .

На третьому кроці розв’язання поставленої задачі скористаємося формулою (4.21), перетворюючи її на формулу для обчислення середньоквадратичної |підрахунку|| похибки ухилу|уклону|. Формула (4.21) прийме вигляд:

На четвертому кроці розв’язання задачі до отриманої формули підставимо чисельні значення і зробимо відповідні обчислення, отримаємо m_i ≈ 0,0002.

Таким чином, завдання знаходження середньої квадратичної похибки ухилу за заданими апостеріорними оцінками розв’язане. Мала величина m_i свідчить про точне визначення ухилу заданої лінії.

Приклад 4.2. На топографічній карті виміряні прямокутні координати X і Y точок 1 і 2 (рис.4.3). Середні квадратичні похибки визначення координат точок дорівнюють . За координатами обчислені довжина d і дирекційний кут α лінії 1-2.

Необхідно визначити середні квадратичні похибки m_d і m_α.

x

y

, - похибка одного вимірювання|виміру| координат точки 2

Рис. 4.3 – Графічна інтерпретація багатократного вимірювання

координат двох точок

Розв’язання. З умов завдання видно, що обчислення довжини лінії d залежить від результатів вимірювання координат точок 1 і 2. Отже, змінними в цьому випадку є координати точок 1 (X₁; Y₁) та 2 (X₂; Y₂),

Візьмемо частинні похідні від d за змінними X₁ і X₂

Перетворимо вираз|вираження| (4.21) з урахуванням|з врахуванням| результатів диференціювання і рівності середніх квадратичних| похибок, заданих в умові завдання.|задачі| Запишемо

Перетворимо отриманий вираз і винесемо за знак радикала

Спростимо підкорінний вираз, використовуючи відому тригонометричну формулу cos²α + sin²α = 1. Тоді . Отримана формула для обчислення середньої квадратичної похибки вимірювання m_d довжини лінії d.

Для обчислення середньої квадратичної похибки m_α скористаємося тригонометричною функцією, яка пов'язує дирекційний кут із результатами вимірів координат точок 1 і 2. Така функція очевидна (рис.4.3) і має наступний вигляд:

Для зручності подальших|дальших| перетворень прологарифмуємо отриману|одержувати| функцію:

.

Обчислимо|обчислятимемо| похідну лівої частини|частки|, отриманого|одержувати| рівняння:

Знайдемо частинні похідні від α за змінними X₁, X₂

Проводячи|виробляти| перетворення з використанням формули (4.21) і спрощення аналогічні попередньому прикладу,|зразку| отримаємо|одержуватимемо|

Тут ρ – коефіцієнт переходу від міри радіану до градусного вимірювання ρ =3438 (кількість минут в одному радіані).

Таким чином, отримано дві прості формули за допомогою, яких можна обчислити значення середньої квадратичної похибки m_d вимірювання довжини лінії d, а також значення середньої квадратичної похибки m_α дирекційного кута α. Причому похибка дирекційного кута, обчисленого за координатами, обернено пропорційна довжині лінії.

Приклад 4.3. Виміряні довжина а = 59,85 м і b = 20,10 м земельної ділянки прямокутної форми з середньою квадратичною відносною похибкою 1:2000. (рис. 4.4).

Δa, Δb – похибки вимірювання сторін аі b, які зумовлюють обчислення

Δb

Δa

b

a

1:2000

Рис. 4.4 – Геометрична інтерпретація умов розв’язання задачі

Необхідно знайти площу|майдан| ділянки і середньоквадратичну| відносну похибку визначення площі|майдану|.

Розв’язання. Запишемо формулу обчислення площі земельної ділянки і обчислимо її за відомими даними.

З рис. 4.4 видно, що зміряні величини а і b є змінними і від точності їх вимірювання залежить точність обчислення площі земельної ділянки.

З метою спрощення обчислень прологарифмуємо отриманий вираз і знайдемо повний диференціал функції

Замінивши в отриманому|одержувати| виразі|вираженні| диференціали середніми квадратичними | похибками, враховуючи формулу (4.21) отримаємо

|одержуватимемо|За умовами завдання|задачі|

Підставимо отримане значення до формулу обчислення|підрахунку| середньої квадратичної | похибки, і знайдемо

За необхідності у процесі аналізу точності вимірів|вимірів| можна перейти до абсолютних похибок

Таким чином, знайдена площа|майдан| земельної ділянки і показники точності проведених вимірів|вимірів| (середні квадратичні| похибки вимірів|вимірів|). Отримані|одержувати| показники можуть бути покращені за рахунок вимірювання земельної|виміру| ділянки точнішими приладами, а також збільшенням кількості вимірів|вимірів|.

Розглянуті вище приклади приведуть до поняття «Надійність апостеріорної оцінки точності вимірів». Оцінка такої надійності пов'язана з певними труднощами, які зумовлені застосуванням спеціальної технології вимірів і використанням основної теореми теорії похибок. Технологія передбачає вимірювання кожної незалежної змінної декількома серіями і для кожної серії обчислення середньої квадратичної похибки m₁, m₂,…, mi,…, m_t а потім обчислення середньої квадратичної похибки всіх серій вимірів. Продиференціюємо функцію (4.21) за змінними

. У результаті отримаємо

Використовуючи раніше отриманий вираз (3.14) підставимо його до виразу (4.22). Отримаємо залежність величини від кількості вимірів

де – кількість вимірів в i- й серії.

Таким чином, очевидно, що підвищення надійності апостеріорної оцінки точності вимірів|вимірів|, пов'язано з додатковими трудовими витратами з серійного вимірювання|виміру| кожного параметра (незалежною змінною).

Дата добавления: 2015-10-29