Метод Длины Хорды

Если интерполированная кривая довольно точно следует исходной ломаной, то длина отрезка кривой между двумя смежными точками будет очень близка к длине хорды между двумя этими точками, а длина интерполтрованной кривой будет очень близка к длине исходной ломаной. На рисунке ниже, каждый отрезок кривой интерполируемой ломаной очень близок к соответствующей ему хорде, а длина кривой близка к длине исходной ломаной. Таким образом, если поделить область, следуя распределению по длинам хорд, то параметры будут аппроксимацией (приближением) параметризации по длине дуги. Это суть метода длины хорды, или хордового метода.

Пусть исходные точки равны d ₀, d ₁,..., d _n. Расстояние между d _{i -1} и d _i равно | d _i - d _{i -1}|, а длина исходной ломаной равна сумме длин этих хорд:

Отсюда, показатель длины хорды от исходной точки d ₀ до исходной точки d _k, обозначается L _k, по отношению к длине исходной ломаной, равен

Отсюда, если мы выбрали параметризацию по длине дуги для интерполированной кривой, то область нужно разбить в отношении L _k. Говоря точнее, если область - это [0,1], то параметр t_k должен быть равен значению L _k:

,

где L - это длина исходной ломаной. В этом случае параметры делят область в отношениях длин хорд.

Взгляните на пример. Путсь у нас есть четыре исходные точки (n = 3): d ₀ = < 0,0 >, d ₁ = < 1,2 >, d ₂ = < 3,4 > и d ₃ = < 4,0 >. Длина каждой хорды равна

,

а полная длина равна

В итоге получим соответствующие параметры:

Следующие рисунки показывают исходные точки и распределения параметров по методам равномерного распределения и длины хорды.

Что, если область [ a, b ], а не [0,1]? Заметьте, что L _k - это число между 0 и 1. Так как длина [ a, b ] равна b - a, L _k (b - a), 0 <= k <= n, то делим [0, b - a ] в том же отношении, что и [0,1]. Таким образом, следующие параметры делят [ a, b ] в соответствии с длинами хорд:

Метод длины хорды широко используется и обычно хорошо работает. Так как известно, что кривые в виде многочлена не могут быть параметризованы до единичной скорости [to have unit speed], поэтому метод длины хорды может быть только приближением. Иногда из-за большой длины хорды может получится слишком большая выпуклость. На рисунке ниже показаны черная и синяя кривые, интерполирующие 7 исходных точек. Как видите, обе кривые имеют схожую форму, кроме последнего отрезка и еще одного, немного "виляющего", вычисленного по методу длины хорды. Последние отрезки кривых очень отличаются и кривая по методу длины хорды имеет бóльшую выпуклость и отклоняется от кривой, полученной по методу равномерного распределения. Это известная проблема метода длины хорды.

Дата добавления: 2015-10-29