Коэффициент корреляции

Наиболее точный способ определения тесноты и характера корреляционной связи – нахождение коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции есть число, определяемое по формуле:

(5.2.1)

где r_ху – коэффициент корреляции; x_i – значения первого признака; у_i – значения второго признака; – средняя арифметическая значений первого признака, – средняя арифметическая значений второго признака

Число коэффициента корреляции дает возможность установить наличие, тесноту и характер связи.

1. Если коэффициент корреляции равен нулю, связь между признаками отсутствует.

2. Если коэффициент корреляции равен единице, связь между признаками столь велика, что превращается в функциональную.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не выходит за пределы интервала от нуля до единицы:

0 < | r_xy | < 1.

Это дает возможность ориентироваться на тесноту связи: чем величина коэффициента ближе к нулю, тем связь слабее, а чем ближе к единице, тем связь теснее.

4. Знак коэффициента корреляции «плюс» означает прямую корреляцию, знак «минус» – обратную.

Для пользования формулой (5.2.1) построим таблицу, которая обеспечит необходимую последовательность в подготовке чисел для нахождения числителя и знаменателя коэффициента корреляции.

Так для примера 5.1.1 нахождение коэффициента корреляции в соответствии с формулой (5.2.1) можно представить следующим образом (табл. 5.2.1).

Таблица5.2.1.

хі	уі	(хі- )	(уі- )	(хі- )(уі- )	(хі- )^2	(уі- )^2
14,00	12,10	—1,70	—2,30	+3,91	2,89	5,29
14,20	13,80	—1,50	—0,60	+0,90	2,25	0,36
14,90	14,20	—0,80	—0,20	+0,16	0,64	0,04
15,40	13,00	—0,30	—1,40	+0,42	0,09	1,96
16,00	14,60	+0,30	+0,20	+0,06	0,09	0,04
17,20	15,90	+1,50	+1,50	+2,25	2,25	2,25
18,10	17,40	+2,40	+2,00	+4,80	5,76	4,00
109,80	101,00			12,50	13,97	13,94

Таким образом, вычисленный в примере 5.1.1 коэффициент корреляции r_xy =+0,9. позволяет сделать такие выводы: существует корреляционная связь между величиной мышечной силы правой и левой кистей у исследуемых школьников (коэффициент r_xy =+0,9 отличен от нуля), связь очень тесная (коэффициент r_xy =+0,9 близок к единице), корреляция прямая (коэффициент r_xy = +0,9 положителен), т. е. с увеличением мышечной силы одной из кистей увеличивается сила другой кисти.

При вычислении коэффициента корреляции и пользовании его свойствами следует учесть, что выводы дают корректные результаты в том случае, когда признаки распределены нормально и когда рассматривается взаимосвязь между большим количеством значений обоих признаков.

5.3. Корреляционные отношения

Отражением нелинейной (криволинейной) корреляции являются корреляционные отношения. Корреляционное отношение h_у/х указывает на зависимость признака у от признака х; отношение h_/хy – зависимость признака х от у. Эти величины определяются по формулам:

(5.3.1)

(5.3.2)

где h_у/х; h_x/y – корреляционные отношения; x_i, y_i – варианты признака х и признака у; – средние арифметические обоих признаков; х_i', у_i' – частные средние признаков х и у.

Для определения частных средних х_i', у_i' находят средние арифметические второго признака среди соответствующих им одинаковых вариантов первого признака. Использование корреляционными отношениями основано на свойстве этих величин, а именно: корреляционное отношение, всегда положительное, не выходит за пределы от нуля до единицы:

Следовательно, как и в случае с коэффициентом корреляции, чем выше корреляционное отношение, тем теснее связь между исследуемыми признаками, чем ниже— тем слабее.

Поскольку пара коррелируемых признаков отражается двумя отношениями, представляется возможность выявить ведущий признак.

Допустим, в результате в результате вычислений получено h_у/х = А; h_x/y = В. Если А > В то признак y зависит от x больше, чем x от y. Следовательно признак x доминирует. Если В > A, то x зависит от y больше, чем y от x, и признак y доминирует.

Пример 5.3.1. Упражнения А и В выполняются для развития ловкости. Предполагается, что между временем исполнения упражнения А и В существует связь. Восемь спортсменов (табл. 5.3.1) при исполнении упражнения А (x_i) и В (y_i) показали время (в секундах) – см. первые два столбца нижеприведенной таблицы. Определить корреляционные отношения h_у/х; h_x/y

Таблица 5.3.1

хі	уі
3,0	7,0	10,6	—4,3	-7,9	18,49	62,41
3.0	10,0	10,6	—4,3	—4,9	18,49	24,01
3,0	15,0	10,6	—4.3	+0,1	18,49	0,01
5,0	12,0	12,0	—2,9	—2,9	8.41	8,41
8,0	18,0	18,5	+3,6	+3,1	12,96	9,61
8,0	19,0	18,5	43,6	+4,1	12,96	16,81
12,0	19,0	19,0	+4,1	+4,1	16,81	16,81
12,0	19,0	19,0	+4,1	+4,1	16,81	16,81
54,0	119,0				123,32	154,88

=

На основании этой таблицы в соответствии с формулой (5.3.1) находим

Зависимость признака у от х весьма высокая.

Для вычисления корреляционного отношения h_x/y исходные данные переписываем в табл. 5.3.2, выдвигая на первое место признак y_i.

Таблица 5.3.2

уі	хі
7,0	3,0	3,0	—3,8	-3,8	14,44	14,44
10,0	3,0	3,0	—3,8	—3,8	14,44	14,44
15,0	3,0	3,0	—3,8	-3,8	!4,44	14,44
12,0	5,0	5,0	—1,8	—1,8	3,24	3,24
18,0	8,0	8,0	+1,2	+1,2	1,44	1,44
19,0	8,0	10,7	+3,9	+1,2	15,21	1,44
19,0	12,0	10,7	+3,9	+5,2	15,21	27,04
19,0	12,0	10,7	+3,9	+5,2	15,21	27,04
119,0	54,0				93,63	103,52

На основании этой таблицы по формуле (5.3.2) находим;

Оба корреляционных отношения не равны между собой, то есть первый признак от второго зависит не так, как второй от первого. При этом связь между признаками весьма тесная.

В обеих таблицах третьи столбцы посвящены определению частных средних и .

Так, в таблице 5.3.1 величина 10,6 найдена как средняя арифметическая величин 7,0; 10,0; 15,0, соответствующих трем одинаковым значениям (3,0) признака х, и т. д.

Дата добавления: 2015-10-24