Выберите правильный ответ

1. Законом распределения многомерной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между

1) возможными значениями случайной величины и соответствующими ей вероятностями

2) областями возможных значений случайной величины и вероятностями появления их в этих областях

3) отклонениями вариант от математического ожидания, выраженное в сигмах

4) отклонениями вариант от выборочной дисперсии

2. В каждой ячейке двумерной матрицы распределения (x_i,y_j) содержится вероятность __________ событий

1) суммы

2) разности

3) произведения

4) частного

3. Условие нормировки для двумерной дискретной случайной величины

1)

2)

3)

4)

4. Математическое ожидание М(Х) составляющей двумерной дискретной случайной величины определяется по формуле

1)

2)

3)

4)

5. Дисперсия D(Х) составляющей двумерной дискретной случайной величины определяется по формуле

1)

2)

3)

4)

6. Функция распределения двумерной случайной величины выражает вероятность совместного выполнения двух неравенств

1) X<x, Y<y

2) X<x, Y>y

3) X>x, Y<y

4) X>x, Y>y

7. Значения функции распределения двумерной случайной величины лежат в диапазоне

1) -¥≤F(x,y) ≤+¥

2) -¥≤F(x,y) ≤1

3) 0≤F(x,y) ≤+¥

4) 0≤F(x,y) ≤1

8. Если аргумент х стремится к плюс бесконечности, то функция распределения двумерной случайной величины стремится к

1) 0

2) 1

3) F₁(x)

4) F₂(y)

9. Если аргумент y стремится к плюс бесконечности, то функция распределения двумерной случайной величины стремится к

1) 0

2) 1

3) F₁(x)

4) F₂(y)

10. Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в произвольный прямоугольник со сторонами [a,b] и [c,d], параллельными координатым осям, вычисляется по формуле:

1) P(a ≤ X ≤b, c ≤ Y ≤d)= F(b,d) - F(a,d) - F(b,c) + F(a,c)

2) P(a ≤ X ≤b, c ≤ Y ≤d)= F(a,d) - F(b,d) - F(b,c) + F(a,c)

3) P(a ≤ X ≤b, c ≤ Y ≤d)= F(a,b) - F(c,d) - F(b,c) + F(a,c)

4) P(a ≤ X ≤b, c ≤ Y ≤d)= F(a,d) - F(b,c) - F(a,c) + F(d,c)

11. Плотностью распределения вероятностей f(x,y) двумерной случайной величины {X,Y} определяется по формуле

1)

2)

3)

4)

12. Для функции распределения F(x, y)=sinx·siny плотность распределения вероятностей равна

1) sinx·cosy

2) cosx·cosy

3) cosx·siny

4) sinx·siny

13. Для функции распределения F(x, y)=x²y плотность распределения вероятностей равна

1) 2x·y

2) 2x+y

3) 2x

4) 2y

14. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен

1) -¥

2) +¥

3) 0

4) 1

15. Объем тела, ограниченный поверхностью f(x,y) и плоскостью XOY равен

1) -¥

2) +¥

3) 0

4) 1

16. Если известна плотности распределения f(x,y), то F(x,y) можно найти по формуле

1)

2)

3)

4)

17. Математическое ожидание М(Х) составляющей двумерной непрерывной случайной величины определяется по формуле

1)

2)

3)

4)

18. Дисперсия D(Х) составляющей двумерной непрерывной случайной величины определяется по формуле

1)

2)

3)

4)

Основные понятия и положения темы.

Случайные величины, определяемые одним числом называются одномерными. Набор n случайных величин X={X₁, X₂, X₃….X_n} называется многомерной случайной величиной или многомерным случайным вектором. Многомерные случайные величины могут быть дискретными, непрерывными и смешанными. Если случайные величины X и Y дискретны,то двумерная случайная величина {X,Y}, состоящая из них называется дискретной. Двумерная ДСВ принимает конечное или счетное множество значений. Законом распределения многомерной случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений случайной величины и вероятностями появления их в этих областях. Закон распределения - двумерная матрица распределения, в каждой ячейке которой содержится вероятность произведения событий. Условие нормировки:.

Суммируя ячейки матрицы вероятностей по строкам, получим распределение СВ Y – по столбцам: СВ X. Зная закон распределения двумерной ДСВ можно найти законы распределения каждой из составляющих:

P(x1)=p(x1,y1)+p(x1,y2)…+p(x1,yn)

Аналогично:

P(y1)=p(x1,y1)+p(x2,y1)…+p(xn,y1)

Таким образом, сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений Х, сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y.

Числовые характеристики двумерной ДСВ определяются числовыми характеристиками составляющих:

Функцией распределения двумерной случайной величины называется действительная функция двух аргументов F(х, y), выражающая вероятность совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y:

F(х,y)=Р(X<x, Y<y).

Геометрически функция F(х,y) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (x, y) в левую нижнюю часть бесконечного квадрата плоскости ХоY c вершиной в точке (x, y).

Свойства функции F(х,y):

1. Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу:

2. Значения функции распределения лежат в диапазоне от 0 до 1.

3. Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к 1: F(∞, ∞)=1

4. При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности, функция распределения системы стремится к 0.

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.

6. Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в произвольный прямоугольник со сторонами [a,b] и [c,d], параллельными координатым осям, вычисляется по формуле:

P(a ≤ X ≤b, c ≤ Y ≤d)=F(b,d) - F(a,d) - F(b,c) + F(a,c)

Непрерывной называется двумерная случайная величина {X,Y}, если ее функция распределения F(x,y) непрерывна по обоим аргументам. Плотностью распределения вероятностей f(x,y) двумерной случайной величины {X,Y} называется смешанная частная производная второго порядка от функции распределения:

Геометрический смысл f(x,y) - это поверхность (поверхность распределения)

Плотностью распределения вероятностей f(x,y) двумерной случайной величины {X,Y} называется предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный участок плоскости, примыкающей к точке (x,y), к площади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю:

Dx Dy-площадь прямоугольника.

Свойства плотности вероятностей двумерной случайной величины:

1. Двумерная плотность вероятности–неотрицательна:

f (x,y)≥0 " (x,y)ÎR²

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен 1.

Объем тела, ограниченный поверхностью f(x,y) и плоскостью XOY равен 1.

По известной плотности совместного распределения можно найти плотность распределения каждой из составляющих двумерной величины.

По известной плотности совместного распределения можно найти плотность распределения каждой из составляющих двумерной величины.

Числовые характеристики двумерной НСВ:

5.3.Самостоятельная работа по теме:

решение типовых задач по теме занятия.

5.4.Итоговый контроль знаний:

1. ответы на вопросы по теме занятия;

2. решение ситуационных задач, тестовых заданий по теме.

Контрольные вопросы:

1. Что называется случайным вектором? Виды многомерных случайных величин (СВ).

2. Что называется законом распределения двумерной СВ?

3. Как записываются функции плотности распределения и распределения вероятности двумерной СВ?

4. Каков геометрический смысл функции плотности распределения и распределения вероятности двумерной СВ?

5. Перечислите свойства функции плотности распределения и распределения вероятности двумерной СВ.

6. Как вычисляются вероятности попадания в заданный интервал двумерной СВ?

7. Как найти вероятность попадания случайной точки в произвольную область D?

8. Как записывается функции плотности распределения вероятности двумерной СВ при равномерном распределении?

9. Как определяются числовые характеристики двумерной СВ?

Ситуационные задачи по теме:

1. Задана двумерная ДСВ. Найти законы распределения, математические ожидания и дисперсии составляющих СВ.

X Y
	0,1	0,2	0,2
		0,25	0,1

2. Задана функция распределения двумерной СВ. Найти двумерную плотность распределения системы X,Y. Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x=2, y=3, y=5.

F(xy)= 1-2^-x-2^-y+2^-x-y при x³0, y³0

0 при x<0 y<0

3. Система СВ (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью f(xy)=a·sin(x+y) в квадрате 0£x£p/2, 0£y£p/2 и f(xy)=0 вне квадрата. Найти коэффициент а, двумерную функцию распределения системы X,Y. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

6.Домашнее задание для уяснения темы занятия (ответить на контрольные вопросы и тестовые задания, решить ситуационные задачи по теме«Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин», см. методические указания для обучающихся, к внеаудиторной работе, тема № 17).

7. Список тем по НИРС:

Законы распределения многомерных случайных величин.

Дата добавления: 2015-07-08