Показательное распределение.

Если плотность распределения случайной величины X выражается функцией:

0 при x£0

f(x)= le^-lx при x>0

то говорят, что случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределение. Здесь λ – постоянная положительная величина, называемая параметром показательного распределения. График плотности распределения приведен на рис.3. Найдем функцию распределения F(x):

.

Итак,

0 при x≤0

F(X)= при x>0

График F(x) приведен на рис.4.

Рис. 3. График плотности распределения f(x) показательного распределения.

Рис. 4. График функции распределения вероятностей F(x) показательного распределения.

Найдем вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (a, b):

Определим числовые характеристики данного распределения:

Итак, для показательного распределения:

Пример:Уровень тревожности X в нормальной обстановке распределен по показательному закону:

0 при x≤0

f(x) = при x>0

Найти вероятность того, что в результате испытаний уровень тревожности попадает в интервал (0,2; 0,5).

Решение.

Показательное распределение тесно связано с потоком событий. Параметр λ – плотность потока. По показательному закону распределено время между появлениями двух соседних единиц потока. Например, время между появлениями двух пациентов.

5.3.Самостоятельная работа по теме:

решение типовых задач по теме занятия.

5. 4.Итоговый контроль знаний:

1. ответы на вопросы по теме занятия;

2. решение ситуационных задач, тестовых заданий по теме.

Контрольные вопросы:

1. Какими свойствами характеризуется равномерное распределение?

2. Запишите функции плотности распределения и распределения вероятности для равномерного распределения.

3. Какой вид имеют графики функций f(x) и F(x) равномерного распределения?

4. Как определяются числовые характеристики при равномерном распределении?

5. Какими свойствами характеризуется показательное распределение?

6. Запишите функции плотности распределения и распределения вероятности для показательного распределения.

7. Какой вид имеют графики функций f(x) и F(x) показательного распределения?

8. Как определяются числовые характеристики при показательном распределении?

Ситуационные задачи по теме:

1. Задана функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а) значение k, б) функцию распределения вероятностей F(Х), в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1/2) г) числовые характеристики случайной величины Х.

2. Каждый день с 15.00 до 15.30 вы стоите у книжного киоска и ожидаете свою Незнакомку, которая каждый раз проходит мимо не ранее 15.20, не замечая Вас. Каково среднее время ее появления в период вашего ожидания?

3. Все значения равномерно распределенной случайной величины Х принадлежат интервалу (1; 7). Определить: а) вероятность попадания Х в интервал (3; 6), б) найти числовые характеристики случайной величины Х.

4. Задана функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

0 при x£0

f(x)= 3e^-3x при x>0

Найти: а) функцию распределения вероятностей F(Х), б) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0,3; 0,6) в) числовые характеристики случайной величины Х.

6.Домашнее задание для уяснения темы занятия (ответить на контрольные вопросы и тестовые задания, решить ситуационные задачи по теме«Законы распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Гамма–распределение, распределение Парето, распределение Коши», см. методические указания для обучающихся, к внеаудиторной работе, тема № 13).

7. Список тем по НИРС:

Применение методов обработки непрерывных случайных величин, подчиняющихся равномерному или показательному распределению для решения медико–биологических задач.

Дата добавления: 2015-07-08