Гипергеометрическое распределение.

Случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, где K£N, n£N, если X принимает целые значения такие, что 0 £k £K, с вероятностями:

Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N-K не белых.

M(X)=n(K/N).

Пример: В урне 8 белых и 2 черных шара. Наудачу отобраны 2 шара. Составить закон распределения числа белых шаров среди отобранных.

Решение: Случайная величина X-число белых шаров среди отобранных имеет следующие значения: x1=0, x2=1, x3=2

Составим исходный закон распределения:

X
P	1/45	16/45	28/45

Контроль: 1/45+16/45+28/45=1

Свойства математического ожидания:

· Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной: М(С)=С

· Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)

· Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий: M(X±Y)=M(X) ± M(Y)

· Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)∙M(Y)

Свойства дисперсии случайной величины:

· Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0

· Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии возводя его в квадрат: D(CX)=C2D(X)

· Дисперсия двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y)

· Дисперсия разности двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X–Y)=D(X)+D(Y)

Пример: Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если известно, что M(X)=4, M(Y)=2.

Ответ: M(Z)=8.

Пример: Найти дисперсию случайной величины D(2X), если D(X)=10.

Ответ: D(2X)=2²×10=40.

Пример: Найти дисперсию случайной величины D(X–Y), D(2X+3), если D(X)=5, D(Y)=3.

Ответ: D(X–Y)=5+3=8, D(2X+3)= 2²×5+ 0=20.

5.3.Самостоятельная работа по теме:

решение типовых задач по теме занятия.

5.4.Итоговый контроль знаний:

1. ответы на вопросы по теме занятия;

2. решение ситуационных задач, тестовых заданий по теме.

Контрольные вопросы:

1. Какое распределение дискретной случайной величины называется геометрическим? Приведите примеры.

2. Какими числовыми характеристиками характеризуется дискретная случайная величина при геометрическом распределении?

3. Какое распределение дискретной случайной величины называется гипергеометрическим? Приведите примеры.

4. Какими числовыми характеристиками характеризуется дискретная случайная величина при распределении Пуассона?

5. Что называется суммой двух случайных величин X и Y?

6. Что называется произведением двух случайных величин X и Y?

7. Перечислите свойства математического ожидания случайных величин.

8. Перечислите свойства дисперсии случайных величин.

Ситуационные задачи по теме:

1. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при каждом выстреле равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не попадет. Составить закон распределения числа патронов, выданных стрелку (Х). Определить числовые характеристики случайной величины Х.

2. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных (X). Определить числовые характеристики.

3. Найти математическое ожидание случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что M(X)=5, M(Y)=3.

4. Найти дисперсию случайной величины D(3X+5), если D(X)=2.

6.Домашнее задание для уяснения темы занятия (ответить на контрольные вопросы, решить ситуационные задачи по теме«Контрольная работа №2», см. методические указания для обучающихся, к внеаудиторной работе, тема № 10).

7. Список тем по НИРС:

Применение методов обработки случайных величин, подчиняющихся геометрическому и гипергеометрическому закону распределения.

Дата добавления: 2015-07-08