Равномерное распределение.

Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если плотность распределения этой величины постоянна на данном отрезке и равна нулю вне этого отрезка:

(1)

C

a

b

X

f(x)

Рис. 1. График плотности распределения f(x) равномерного распределения.

Найдем величину c. По свойству плотности вероятности:

Отсюда c(b–a)=1, или c=1/(b–a).

Для этой случайной величины вероятность попадания в интервал , принадлежащего отрезку , равна:

Найдем функцию распределения F(x):

Итак, функция распределения равна:

(2)

График F(x) имеет вид, указанный на рисунке 2.

a

b

X

F(x)

Рис. 2. График функции распределения вероятностей F(x) равномерного распределения.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины:

(3)

Мы получили, что математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке, есть середина этого отрезка.

(4)

Среднее квадратическое отклонение:

(5)

Пример 1: Задана функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а) значение k, б) функцию распределения вероятностей F(Х), в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 2) г) числовые характеристики случайной величины Х.

Решение: а) из условия нормировки: , , k=2.

б)

в) находим С из условия: при х=3 равно 1. С=1–3/2=-1/2.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2) равна:

(2/2–1/2)–(1/2–1/2)=1/2.

г) математическое ожидание: ,

дисперсия: ,

среднее квадратическое отклонение: .

Пример 2:Производится взвешивание на аналитических весах, причем имеются гирьки весом не менее 1 г. Найти математическое ожидание ошибки и ее дисперсию.

Решение:Предположим, результат взвешивания показывает, что вес тела заключен между k и k+1 граммами. Тогда вес тела принимается равным (k+1/2) грамм. Допущенная при этом ошибка X, очевидно, есть случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на участке (-1/2; 1/2). Тогда из (3) – (5) соответственно получим:

Дата добавления: 2015-07-08