Выберите правильный ответ. 1. По мишени производится три выстрела

1. По мишени производится три выстрела. Значение вероятности ни одного попадания при всех трех выстрелах равно 0,5; значение вероятности ровно одного попадания 0,3; значение вероятности ровно двух попаданий 0,15.Тогда значение вероятности того, что мишень будет поражена три раза, равна

1)0,05

2)0,95

3)0,15

4)0,45

2. По мишени производится три выстрела. Значение вероятности ни одного попадания при всех трех выстрелах равно 0,6; значение вероятности ровно одного попадания 0,2; значение вероятности ровно двух попаданий 0.1. Тогда значение вероятности того, что мишень будет поражена не более одного раза, равна

1)0,6

2)0,7

3)0,8

4)0,2

3. Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся биноминальному закону равно

1) n×p

2) n × p × q

3)

4)

4. Дисперсия случайной величины, подчиняющейся биноминальному закону равна

1) n×p

2) n × p × q

3)

4)

5. Среднее квадратическое отклонениие случайной величины, подчиняющейся биноминальному закону равно

1) n×p

2) n × p × q

3)

4)

6. Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся закону Пуассона равно

1) n×p

2) n × p × q

3)

4)

7. Дисперсия случайной величины, подчиняющейся закону Пуассона равна

1) n×p

2) n × p × q

3)

4)

8. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, подчиняющейся закону Пуассона равно

1) n×p

2) n × p × q

3)

4)

9. Монета подбрасывается 3 раза. Математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа выпадений герба равно

1) 0,15

2) 0,5

3) 1,5

4) 3

10. Монета подбрасывается 4 раза. Дисперсия дискретной случайной величины X – числа выпадений герба равна

1) 0,5

2) 1

3) 2

4) 4

11. Монета подбрасывается 4 раза. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X – числа выпадений герба равно

1) 0,5

2) 1

3) 2

4) 4

12. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа неправильно сброшюрованных книг равно

1) 10

2) 100

3) 1000

4) 10000

13. Устройство состоит из 10000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента равна 0,002. Дисперсия дискретной случайной величины X – числа отказавших элементов равна

1) 10

2) 19,96

3) 20

4) 100

14. Вероятность встретить нестандартную ампулу равна 0,0016. В партии 10000 ампул. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X – числа нестандартных ампул равно

1) 1,6

2) 4

3) 16

4) 40

Основные понятия и положения темы.

Биноминальное распределение. Пусть случайная величина X – число появлений события A в n повторных независимых испытаниях, причем для каждого испытания P(A)= p и P()= q. Тогда вероятности значений случайной величины X можно определить по формуле Бернулли:

Распределение дискретной случайной величины, вероятность каждого значения которой равна соответствующему члену разложения бинома , называется биноминальным распределением. Параметры n и p полностью определяют биноминальное распределение (рис.2).

Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся биноминальному распределению: M(X)=np.

Действительно, x_i – число появлений события A в каждом испытании – представляет собой случайную величину с распределением:

xi
pi	q	p

Математическое ожидание . Но так как , то M(X)=np.

Дисперсия случайной величины, подчиняющейся биноминальному закону, D(X)=npq.

Величина имеет распределение:

	0^2	1^2
pi	q	p

Математическое ожидание квадрата случайной величины:

Дисперсия случайной величины:

Вследствие независимости величин х₁, х₂, …., х_n:

Среднее квадратическое отклонение

Пример: Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью 0,7. составить биноминальное распределении вероятностей появления колонии микроорганизмов в шести наугад взятых пробах.

Решение. В нашем случае p=0,7; q=0,3. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найдем вероятности этих возможных значений:

Биноминальное распределение вероятностей появления колонии микроорганизмов задается следующей таблицей:

X
P6(X)	0,0007	0,01	0,057	0,18	0,32	0,30	0,11

Из этой таблицы видно, что значение вероятностей сначала возрастают, а затем убывают. Значению X=4 соответствует наибольшая вероятность появления колонии микроорганизмов в шести пробах, т.е. X=4 – мода данного распределения случайной величины.

Распределение Пуассона. Пусть случайная величина X – число появлений событий A и n испытаниях (n велико), причем для каждого испытания P(A)=p (p мало) и P()=q. Тогда вероятности значений случайной величины X () можно определить по формуле Пуассона:

Распределение такой величины называют распределением Пуассона.

Распределение Пуассона является дискретным и характеризуется только одним параметром – математическим ожиданием µ (рис.3). Среднее квадратическое отклонение . Распределение Пуассона можно использовать в качестве биноминального распределения, если n велико, а pмало.

Пример.Пусть известно, что в ведре воды имеется n=10000 бактерий. Вероятность нахождения бактерий в случайным образом выбранной капле p=0,001. Найти распределение вероятностей количества бактерий X в наугад взятой капле.

Решение. При хорошем перемешивании воды, в которой бактерии считаются точками, можно применить распределение Пуассона с параметром µ=np=10000×0,001=10. Вычислим вероятность того, что в капле воды не окажется ни одной бактерии:

Вероятности того, что в капле воды будет одна, две, три и более бактерии, равны соответственно:

Закон распределения количества бактерий в наугад взятой капле можно представить в виде следующей таблицы:

X	Pn(X)	X	Pn(X)
	0,5×10^-4		1428×10^-4
	5×10^-4		1428×10^-4
	25×10^-4		1250×10^-4
…	…..		1030×10^-4
	1250×10^-4	…	…

Из этой таблицы видно, что распределение Пуассона достигает максимума при X=9, …, 10, а затем убывает.

5.3.Самостоятельная работа по теме:

решение типовых задач по теме занятия.

5.4.Итоговый контроль знаний:

1. ответы на вопросы по теме занятия;

2. решение ситуационных задач, тестовых заданий по теме.

Контрольные вопросы:

1. Какое распределение дискретной случайной величины называется биноминальным? Приведите примеры.

2. Как меняется график биномиального закона распределения при увеличении числа опытов и вероятности события?

3. Какими числовыми характеристиками характеризуется дискретная случайная величина при биномиальном распределении?

4. Когда применяется распределение Пуассона?

5. Каким параметром определяется вид распределения Пуассона?

6. Какими числовыми характеристиками характеризуется дискретная случайная величина при распределении Пуассона?

Ситуационные задачи по теме:

1. Вероятность изготовления нестандартных ампул равна 0,1. Составить биномиальное распределение вероятностей нестандартных, взятых наугад 4–х ампул. Найти числовые характеристики.

2. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее трех изделий.

3. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти функцию распределения вероятностей F(X), построить её график. Найти вероятность P(X£2). Определить числовые характеристики дискретной случайной величины Х.

6.Домашнее задание для уяснения темы занятия (ответить на контрольные вопросы и тестовые задания, решить ситуационные задачи по теме«Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины. Геометрическое и гипергеометрическое распределение», см. методические указания для обучающихся, к внеаудиторной работе, тема № 9).

7. Список тем по НИРС:

1. Применение методов обработки случайных величин, подчиняющихся биномиальному закону распределения для решения медико-биологических задач.

2. Применение методов обработки случайных величин, подчиняющихся закону Пуассона для решения медико-биологических задач.

Дата добавления: 2015-07-08