Спектры сигналов с частотной модуляцией.

Формулу (7) однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

u(t) = U_mcos(m×sin(Wt)) cos(w_ot) - U_msin(m×sin(Wt)) sin(w_ot). (8)

При малых значениях индекса угловой модуляции (m<<1, узкополосная модуляция) имеют место приближенные равенства:

cos(m×sin(Wt))» 1, sin(m×sin(Wt))» m×sin(w_ot).

При их использовании в (8), получаем:

u(t)» U_mcos(w_ot) + (mU_m/2)cos[(w_o+W)t] - (-U_m/2)cos[(w_o-W)t]. (9)

Сравнение данного выражения с формулой АМ сигнала позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ЧМ (а также и ФМ) сигналов при m<<1 практически аналогичны АМ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты w_o+W и w_o-W. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 180⁰ относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ФМ сигналы изменением на 180^о начальной фазы одной из боковых полос. Заметим также, что при малых значениях индекса m основная мощность сигнала приходится на несущую частоту.

2.3. Демодуляция ЧМ – сигналов.

Рассматриваемый вид демодуляции много сложнее демодуляции сигналов АМ.

При демодуляции полностью зарегистрированных цифровых сигналов обычно используется метод формирования комплексного аналитического сигнала с помощью преобразования Гильберта:

u_a(t) = u(t) + j u_h(t), (10)

где u_h(t) – аналитически сопряженный сигнал или квадратурное дополнение сигнала u(t), которое вычисляется сверткой сигнала u(t) с оператором Гильберта (1/πt):

u_h(t) = (1/π) u(t') dt'/(t-t'). (11)

Полная фаза колебаний представляет собой аргумент аналитического сигнала:

y(t) = arg(u_a(t)).

Дальнейшие операции определяются видом угловой модуляции. При демодуляции ФМ сигналов из фазовой функции вычитается значение немодулированной несущей ω_оt:

j(t) = y(t) - ω_ot.

При частотной модуляции фазовая функция дифференцируется с вычитанием из результата значения частоты ω_о:

j(t) = y(t)/dt - ω_o.

Обычно в реальном масштабе времени используется квадратурная обработка, при которой входной сигнал умножается на два опорных колебания со сдвигом фазы между колебаниями в 90^о:

u₁(t) = u(t) cos(ω_ot) = U_m cos(ω_ot+j(t) cos(ω_ot) = ½ U_m (cos j(t) +

½ cos(2w_ot+j(t)),

u₂(t) = u(t) sin(ω_ot) = U_m cos(ω_ot+j(t) sin(ω_ot) = - ½ U_m (sin j(t) +

½ sin(2w_ot+j(t)).

Каждый из полученных сигналов содержит два слагаемых. Одно из них низкочастотное (косинус или синус начальной фазы), другое – высокочастотное (ЧМ сигнал с несущей частотой 2w_o). Низкочастотные колебания из этих двух сигналов выделяются фильтрами низких частот, и формируется аналитический сигнал:

u_a(t) = ½ U_m cos j(t) - ½j U_m sin j(t).

Аргумент этого аналитического сигнала, как и в первом случае, представляет полную фазу колебаний, обработка которой выполняется аналогично, т. е. для демодуляции ЧМ сигнала полученную фазовую функцию необходимо продифференцировать.

Рис. 2. Структурная схема демодулятора.

Достоинством данной схемы является то, что при высокой несущей частоте входные блоки (генератор опорного сигнала и умножители) могут быть выполнены в аналоговом виде.

2.4. Внутриимпульсная частотная модуляция.

Сигнал с внутриимпульсной частотной модуляцией – это радиоимпульс, высокочастотное заполнение которого имеет переменную частоту.

ЛЧМ – сигналы. Если закон изменения мгновенной частоты заполнения имеет линейный характер, то такие сигналы носят название ЛЧМ – сигналов (линейная частотная модуляция). Наиболее широкое применение они получили в радиолокации. Пример ЛЧМ – сигнала с огибающей прямоугольной формы приведен на рис. 3.

ЛЧМ – сигналы имеют одно замечательное свойство. Если сигнал подать на частотно-зависимую линию задержки, время задержки сигнала которой велико на малых частотах (в начальной части ЛЧМ – сигнала) и уменьшается по мере нарастания частоты в ЛЧМ – сигнале, то на выходе такой линии происходит "сжатие" сигнала в один период высокочастотного колебания путем суммирования амплитудных значений всех периодов сигнала. При этом происходит увеличение амплитуды выходного сигнала и уменьшение статистических шумов, так как суммируемые одновременно по этим же периодам шумы не коррелированны.

Рис. 3. ЛЧМ – сигнал.

Для модели радиоимпульса с прямоугольной огибающей примем его длительность равной t_и, и точку t = 0 поместим в центр радиоимпульса. Допустим также, что частота заполнения линейно нарастает от начала импульса к его концу со скоростью m (с^-2), при этом:

w(t) = w_o + mt. (12)

Девиация частоты за время длительности импульса и полная фаза сигнала:

Dw = m×t_и. (13)

y(t) = w_ot + mt²/2. (14)

Уравнение ЛЧМ – сигнала:

u(t) = (15)

Спектр прямоугольного ЛЧМ – сигналавычисляется через преобразование Фурье. Девиация частоты за время длительности импульса по сравнению с несущей частотой обычно мала (Dw << w_o) и форма спектра зависит от так называемой базы импульса:

Dw×t_и = m×t_и². (16)

На рис. 4 приведен пример формы спектральной плотности ЛЧМ – сигнала при малом значении базы в области несущей частоты сигнала.

Рис. 4. Спектр ЛЧМ- сигнала.

На практике значение базы сигналов обычно много больше 1. Увеличение базы сопровождается расширением полосы спектра Dw, при этом в пределах этой полосы модуль спектральной плотности практически постоянен и равен U_m× . Пример спектра приведен на рис.5.

Рис. 5. Спектр при B>>1.

Дата добавления: 2015-07-08