Анализ условия задачи. Потенциальная энергия растянутой (сжатой) пружины (84), причем х - это растяжение или

Потенциальная энергия растянутой (сжатой) пружины (84), причем х - это растяжение или сжатие пружины из состояния равновесия, когда потенциальная энергия пружины равно нулю. В рассматриваемой системе две пружины, поэтому надо определить растяжение каждой из них, а затем найти искомую полную энергию системы, которая и определяет необходимую работу.

Решение.

Полная работа, которую надо совершить для требуемого растяжения двух пружин, равна сумме энергий, запасенных в каждой из них:

. (104)

Потенциальная энергия растянутой пружины (84) в нашем случае может быть записана как . Поэтому, для определения работы необходимо найти удлинения каждой из пружин. Относительно этих удлинений известно, что их сумма равна общему удлинению пружин, . Далее, применяя третий закон Ньютона к точке соединения пружин, найдем, что , или . Из последнего, с учетом закона Гука , следует: . Если учесть связь с общим удлинением, то можно записать

. (105)

Следовательно, . После этого легко найти . Окончательное выражение для искомой работы

. (106)

Гармонические колебания.

Теоретическое введение.

1. Гармоническим осциллятором называется любая физическая система, уравнение движения (в самом общем смысле) которой имеет вид

, (107)

где - циклическая частота гармонического осциллятора (размерность рад/с), связанная с периодом колебаний соотношением

. (108)

2. Закон движения гармонического осциллятора (решение уравнения (108)) есть

, (109)

где А – амплитуда, – полная и начальная фазы осциллятора.

3. Как обычно, мгновенной скоростью осциллятора называется первая производная по времени от «смещения» , ускорением осциллятора – вторая производная.

4. Если материальная точка находится в потенциальном поле с потенциальной энергией , то на неё действует консервативная сила

. (110)

В случае одномерного потенциального поля

. (111)

Задача 16.

Рассмотрим движение грузика, прикрепленного к невесомой пружине жесткостью k, способного без трения двигаться вдоль оси х. Докажем, что система является гармоническим осциллятором. Найдем циклическую частоту. Рассматриваемая система изображена на рис. 6.

k

x

Рис. 6. К задаче 16

Дата добавления: 2015-11-04