Построение переходного процесса в САР при возмущении по нагрузке ( метод трапеций)

Для построения переходного процесса вещественную частотную характеристику замкнутой системы заменяют ломаной линией, а площадь, ограниченную ломаной, представляют в виде суммы трапеций. Все трапеции одной стороной должны примыкать к оси ординат, а основания их должны быть параллельны оси абсцисс и проходить через точки перегибов или экстремумов. Каждая трапеция имеет три характеристики: высоту r, частоту среза ω_с (величина большего из оснований трапеции) и коэффициент наклона — отношение меньшего основания трапеции к большему. Количество трапеций, на которое разбивается площадь кривой Р_зз(ω), определяется сложностью кривой и должно быть оптимальным. Чем больше выделено трапеций, т. е. чем в большей степени ломаная совпадает с аппроксимируемой кривой, тем, в принципе, выше точность расчета переходного процесса. Однако при этом возрастает объём расчётов, а, начиная с некоторого числа, дальнейшее увеличение числа трапеций практически уже не будет повышать точность, т. к. сам метод является приближенным и даёт погрешности до 3%. Обычно число тралений составляет от З до 7. Разбив площадь кривой на трапеции, определяем их характеристику и сводим в таблицу по табл. 5. Если верхнее основание трапеции больше нижнего, высота трапеции r имеет знак “минус”, Трапециями с высотой r < 0,1 при больших частотах пренебрегают и не учитывают их при построении переходного процесса. Сведем результаты в табл. 8.

Таблица		.	Характеристики трапеций (соответствующих рис. 12)
	номер		название таблицы

Трапеция
Высота, r	0,2	-0,05	0,1214	-0,1956	-0,0758	-0,0283	0,0283
Частота среза, ωс			2,55	3,3		4,8	6,3
Частота среза, ωd		1,2		2,55	3,3		4,8
Коэффициет наклона, χ		0,6	0,784314	0,772727	0,825	0,833333	0,761905
t0max			38,25	49,5			94,5

Расчёт ведётся с помощью h(t₀)–функций, приведённых в таблице (с. 28 [1]). В первом столбце таблицы указано безразмерное время t₀ в остальных столбцах–значение h(t₀)–функций для различных величин коэффициента наклона трапеций.

Рис. 12.

Каждая из трапеций, на которые разбита площадь кривой, даёт составляющую переходного процесса в системе:

(29)

где x(t) – переходный процесс в системе (реакция системы на единичное скачкообразное возмущение при нулевых начальных условиях); x_i(t) — составляющая переходного процесса, соответствующая i–той трапеции; n – число тралений.

Для получения составляющих x_i(t)‚ поступают следующим образом. Из таблицы h(t₀)–функций выписывают пары значений h(t₀) и t₀ при соответствующем коэффициенте наклона χ_i. Наибольшее значение для каждой трапеции примерно определяется соотношением:

(30)

Если значение для какой–то трапеции лежат между табличными значениями, прибегают к интерполяции.

Величину x_i(t) определяют по формуле:

(31)

т.е. чтобы получить составляющую переходного процесса каждое значение h(t₀)–функции умножают на высоту трапеции r_i (с учётом знака), а соответствующее значение времени определяется делением табличного значения безразмерного времени t₀ на частоту среза ω_сi i–той трапеции. Для каждого значения времени t будет получена величина i–той составляющей переходного процесса. Эту операцию проделывают для всех трапеций.

Значения t₀, h(t₀), x_i(t) сведём в табл. 9.

Таблица		.	Расчёт составляющих переходного процесса (для трапеций 1–7 табл. 8)
	номер		название таблицы

Трапеция №1

t0	h(t0)	xi(t)	t
0,5	0,158	0,0316	0,5
	0,31	0,062
1,5	0,449	0,0898	1,5
	0,572	0,1144
2,5	0,674	0,1348	2,5
	0,755	0,151
3,5	0,814	0,1628	3,5
	0,857	0,1714
4,5	0,883	0,1766	4,5
	0,896	0,1792
5,5	0,9	0,18	5,5
	0,904	0,1808
6,5	0,904	0,1808	6,5
	0,904	0,1808
7,5	0,907	0,1814	7,5
	0,91	0,182
8,5	0,913	0,1826	8,5
	0,924	0,1848
9,5	0,932	0,1864	9,5
	0,939	0,1878
10,5	0,946	0,1892	10,5
	0,947	0,1894
11,5	0,949	0,1898	11,5
	0,95	0,19
12,5	0,95	0,19	12,5
	0,95	0,19
13,5	0,95	0,19	13,5
	0,952	0,1904
14,5	0,954	0,1908	14,5
	0,956	0,1912

Трапеция №2

t0	h(t0)	xi(t)	t
0,5	0,255	-0,01275	0,25
	0,49	-0,0245	0,5
1,5	0,706	-0,0353	0,75
	0,878	-0,0439
2,5	1,01	-0,0505	1,25
	1,1	-0,055	1,5
3,5	1,145	-0,05725	1,75
	1,158	-0,0579
4,5	1,134	-0,0567	2,25
	1,107	-0,05535	2,5
	1,021	-0,05105
	0,957	-0,04785	3,5
	0,941	-0,04705
	0,961	-0,04805	4,5
	0,993	-0,04965
	1,019	-0,05095
	1,008	-0,0504
	1,001	-0,05005
	0,997	-0,04985
	0,992	-0,0496
		-0,05
	1,008	-0,0504
		-0,05

Трапеция №3

t0	h(t0)	xi(t)	t
0,5	0,279804	0,033968	0,196078
	0,542922	0,065911	0,392157
1,5	0,770353	0,093521	0,588235
	0,950353	0,115373	0,784314
2,5	1,072353	0,130184	0,980392
	1,150235	0,139639	1,176471
3,5	1,169431	0,141969	1,372549
	1,157569	0,140529	1,568627
4,5	1,11602	0,135485	1,764706
	1,05802	0,128444	1,960784
	0,954333	0,115856	2,352941
	0,912882	0,110824	2,745098
	0,94149	0,114297	3,137255
	1,00098	0,121519	3,529412
	1,044922	0,126853	3,921569
	1,047686	0,127189	4,313725
	1,018137	0,123602	4,705882
	0,984078	0,119467	5,098039
	0,967824	0,117494	5,490196
	0,977373	0,118653	5,882353
	0,999863	0,121383	6,27451
	1,016235	0,123371	6,666667
	1,018118	0,123599	7,058824
	1,006941	0,122243	7,45098
	0,994137	0,120688	7,843137
	0,991	0,120307	8,627451
	1,00549	0,122067	9,411765
	1,004373	0,121931	9,803922
38,5	1,002627	0,121719	15,09804

Трапеция №4

t0	h(t0)	xi(t)	t
0,5	0,278182	-0,05441	0,151515
	0,539909	-0,10561	0,30303
1,5	0,766182	-0,14987	0,454545
	0,946182	-0,18507	0,606061
2,5	1,068182	-0,20894	0,757576
	1,147455	-0,22444	0,909091
3,5	1,168273	-0,22851	1,060606
	1,158727	-0,22665	1,212121
4,5	1,119727	-0,21902	1,363636
	1,061727	-0,20767	1,515152
	0,958273	-0,18744	1,818182
	0,914273	-0,17883	2,121212
	0,939636	-0,18379	2,424242
	0,997273	-0,19507	2,727273
	1,041909	-0,2038	3,030303
	1,047455	-0,20488	3,333333
	1,020455	-0,1996	3,636364
	0,987091	-0,19307	3,939394
	0,969909	-0,18971	4,242424
	0,976909	-0,19108	4,545455
	0,997545	-0,19512	4,848485
	1,013455	-0,19823	5,151515
	1,016727	-0,19887	5,454545
	1,007636	-0,19709	5,757576
	0,996455	-0,19491	6,060606
	0,991	-0,19384	6,666667
	1,003636	-0,19631	7,272727
	1,003909	-0,19636	7,575758
49,5	1,003091	-0,1962

Трапеция №5

t0	h(t0)	xi(t)	t
0,5	0,286	-0,02168	0,125
	0,5545	-0,04203	0,25
1,5	0,78	-0,05912	0,375
	0,965	-0,07315	0,5
2,5	1,088	-0,08247	0,625
	1,159	-0,08785	0,75
3,5	1,1725	-0,08888	0,875
	1,1495	-0,08713
4,5	1,105	-0,08376	1,125
	1,045	-0,07921	1,25
	0,9415	-0,07137	1,5
	0,9095	-0,06894	1,75
	0,9495	-0,07197
	1,0145	-0,0769	2,25
	1,054	-0,07989	2,5
	1,046	-0,07929	2,75
	1,0075	-0,07637
	0,972	-0,07368	3,25
	0,963	-0,073	3,5
	0,9825	-0,07447	3,75
	1,008	-0,07641
	1,025	-0,0777	4,25
	1,019	-0,07724	4,5
	0,985	-0,07466
	0,994	-0,07535	5,5
	1,0125	-0,07675
	1,0025	-0,07599	7,5
	0,9945	-0,07538

Трапеция №6

t0	h(t0)	xi(t)	t
0,5	0,287333	-0,00813	0,104167
	0,557	-0,01576	0,208333
1,5	0,784667	-0,02221	0,3125
	0,968	-0,02739	0,416667
2,5	1,091333	-0,03088	0,520833
	1,160667	-0,03285	0,625
3,5	1,173	-0,0332	0,729167
	1,147333	-0,03247	0,833333
4,5	1,103	-0,03121	0,9375
	1,042333	-0,0295	1,041667
	0,939	-0,02657	1,25
	0,909	-0,02572	1,458333
	0,951333	-0,02692	1,666667
	1,017333	-0,02879	1,875
	1,055667	-0,02988	2,083333
	1,045333	-0,02958	2,291667
	1,005	-0,02844	2,5
	0,969333	-0,02743	2,708333
	0,962333	-0,02723	2,916667
	0,984	-0,02785	3,125
	1,009667	-0,02857	3,333333
	1,026667	-0,02905	3,541667
	1,018667	-0,02883	3,75
	0,983	-0,02782	4,166667
	0,995	-0,02816	4,583333
	1,014	-0,0287
	1,002	-0,02836	6,25
	0,992	-0,02807

Трапеция №7

t0	h(t0)	xi(t)	t
0,5	0,276667	0,00783	0,079365
	0,537095	0,0152	0,15873
1,5	0,762286	0,021573	0,238095
	0,942286	0,026667	0,31746
2,5	1,064286	0,030119	0,396825
	1,144857	0,032399	0,47619
3,5	1,16719	0,033031	0,555556
	1,15981	0,032823	0,634921
4,5	1,12319	0,031786	0,714286
	1,06519	0,030145	0,793651
	0,961952	0,027223	0,952381
	0,915571	0,025911	1,111111
	0,937905	0,026543	1,269841
	0,99381	0,028125	1,428571
	1,039095	0,029406	1,587302
	1,047238	0,029637	1,746032
	1,022619	0,02894	1,904762
	0,989905	0,028014	2,063492
	0,971857	0,027504	2,222222
	0,976476	0,027634	2,380952
	0,995381	0,028169	2,539683
	1,010857	0,028607	2,698413
	1,015429	0,028737	2,857143
	1,008286	0,028534	3,015873
	0,998619	0,028261	3,174603
	0,991	0,028045	3,492063
	1,001905	0,028354	3,809524
	1,003476	0,028398	3,968254
94,5	1,003524	0,0284

Рис. 13. Построение переходного процесса при возмущении по нагрузке (по данным табл. 9)

Дата добавления: 2015-10-02