Читайте также:
|
|
Предположим,что функция f(x), непрерывна в промежутке
[ ] (H>0) и имеет конечную производную f’(x) для x>
.Если существует (конечный предел или нет) предел
,то такова же будет и производная в точке
справа. Действительно, при 0 < ∆ x ≤ H имеем равенство
.Так как аргумент c производной содержится между
и
,то при ∆ x
он стремится к
,так что правая часть равенства, а с нею и левая стремится к пределу K,что и требовалось доказать. Аналогичное утверждение устанавливается и для левосторонней окрестности точки
.
Рассмотрим в качестве примера функцию
f (x)=x
arcsin x +
В промежутке [-1,1].если -1<x<1,то обычным правилам дифференциального исчисления легко найти:
f (x)=arcsin x.
При x эта производная, очевидно, стремится к пределу
; значит и при x= ± 1 существуют (односторонние) производные:
f (± 1)= ±
.
Если вернуться к функциям ,
,которые мы рассматривали, то для них (при
) имеем:
,
Так как первое из этих выражений при стремится к +∞, а второе при
имеет, соответственно, пределы ± ∞,то заключаем сразу, что
в точке x=0 имеет двустороннюю производную +∞. В то время, как для
в этой точке существуют лишь односторонние производные: справа +∞ и слева -∞. Из сказанного вытекает также, что, если конечная производная f
(x) существует в некотором промежутке, то она представляет собой функцию, которая не может иметь обыкновенных разрывов или скачков: в каждой точке она либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода.
Дата добавления: 2015-09-05; просмотров: 57 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Замечание . | | | Теорема Коши.6.5 |