Примеры. Заметим, что , получаем .

1. Пусть, найдем . Имеем ,где .

Заметим, что , получаем .

Следовательно, .

Например,

если, y= то

если, то

если, то

Если функция y= определена при x<0,то при этих значениях x она также имеет производную y = .

2.Пусть y=ln|x|, ;тогда при x >0 имеем,

а при x<0

y = [ln(-x)]’= .

Таким образом, для всех справедлива формула

(ln|x|) = (5.3)

Отсюда, по правилу дифференцирования сложной функции, для любой функции u(x) в точках x,в которых существует производная u (x),а u(x)≠ 0 имеет место соотношение:

(ln|u(x)|) (5.4)

3.Найдем производную функции

y= . В силу имеем

y’= =

Замечание. Используя теорему 4,можно все полученные формулы для производных основных элементарных функции записать в более общем виде: если u=u(x) –дифференцируемая функция, то:

· (sin u) =u cosu;

· (cos u) =- u’sinu;

· (tg u) =

· (ctg u) =-

·

·

·

· (ln u) =

· (arcsin u) =

· (arcos u) = -

· (arctg u) =

· (arcctg u) =

Из приведенных формул видно (при x=u),что производные основных элементарных функций являются элементарными функциями.

Полученные же в совокупности формулы дают возможность вычислить производную и дифференциал любой элементарной функции в случае, если эта производная существует.

Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная функция имеет производные во всех точках своей области определения.

примером элементарной, дифференцируемой не во всех точках функции является функция | x |= Она, как мы знаем, не имеет производной в точке x=0.

Дата добавления: 2015-09-05