Модификации логлинеиных моделей

Гудмен [Goodman L. А., 1972с] рассмотрел массу вариаций моделей, многие из которых вполне годятся для анализа квадратных таблиц (I x I). Мы остановимся на двух его моделях. Это должно облегчить понимание мотивов, лежащих в основе выбора моделей, если мы соотнесем модели с конкретными ситуациями. Положим, что два фактора, которые мы рассматриваем, - это социальный статус эксперта в два разных момента времени. Во всех случаях социальный статус определяется по пятибалльной шкале,

[120]

Таблица 10.6. Оценки чисел изменчивый и долей преданных по табл. 10.5,

10.1 и 10.4 для модели <изменчивые-преданные>

Таблица	Числа преданных	Доли изменчивых (1964 г.)
Консерваторы	Либералисты	Либералы	Не участвующие	Консерваторы	Либералисты	Либералы	Не участвующие
10.5	56,9	67.5	21,9	3,7	0,20	0,36	0,23	0,21
10.1	60,0	56,7	10,3	0,8	-	-	-	-
10.4	54,6	49,9	11,2	1,7	0,22	0,34	0,36	0,08

Таблица	Доли изменчивых	Подгонка модели
1966 г.	1970 г.	Степени свободы	Y^2
Консерваторы	Либералисты	Либералы	Не участвующие	Консерваторы	Либералисты	Либералы	Не участвующие
10.5	0,47	0,11	0,14	0,28	-	-	-	-		3,6
10.1	0,30	0,23	0,38	0,08	0,32	0,31	0,13	0,24		6,5
10.4	0,23	0,39	0,20	0,18	0,48	0,17	0,11	0,24		122,0

Возьмем двух экспертов, изменивших свой статус, один - перейдя с уровня 4 на уровень 3, а другой - перейдя с уровня 3 на уровень 2. Если различия между разными уровнями социальной шкалы одинаковы, то изменения статусов обоих экспертов равно важны. Обе ячейки (4,3) и (3,2) лежат на одной диагонали в таблице с двумя входами, и это наводит на мысль включить в модель <эффект диагонали>. Соответствующая модель имеет вид

(10.17)

где k = i - j и - параметр, связанный с k -й из (2 I - 1) диагоналей в таблице с двумя входами. Всего имеется (2 I - 3) различных параметра , по одному на каждую из диагоналей, длина которых превышает 1, и, следовательно, есть I ² - 1 - (I - 1)-(I - 1)-(2 I - 3) = (I - 2)² степеней свободы для этой модели.

В другой раз мы могли бы рассматривать политические симпатии экспертов в два разных момента времени. Уровни двух классифицируемых факторов относятся к различным политическим партиям. Но так как одни партии - политические антиподы, а другие различают очень мало, переход от партии 4 к партии 3 может оказаться гораздо более важным, чем переход от партии 3 к партии 2, а в таком случае диагональная модель может стать неподходящей. Вместо нее мы введем в рассмотрение параметр , который отражает расстояние

[121]

между уровнями k и k + 1, что привдоит к следующей модели <перескока>:

(10.18)

Всего имеется I - 1 параметров , а значит, модель имеет I ² - 1 - 3 (I - 1) = (I - 1) (I - 2) степеней свободы.

Гудмен рассматривал еще множество других моделей, в которых комбинируются <перескоки> и диагональные элементы для разных частей таблицы с двумя входами. В примере 10.5 мы продемонстрируем применение подхода такого рода к анализу некоторых данных о выборах в Швеции.

Пример 10.5

Таблица 10.7. Результаты выборов в Швеции в 1964, 1968 и 1970 гг.

Выборы 1964 г.	Выборы 1968 г.	1970 г.
СДП	ЦП	НП	К	Всего
СДП	СДП
	ЦП
	НП
	К
ЦП	СДП
	ЦП
	НП
	К
НП	СДП
	ЦП
	НП
	К
К	СДП
	ЦП
	НП
	К
Всего

Данные, приведенные в таблице 10.7, относятся к результатам го-лосования 1651 эксперта, которые были отобраны случайным образом из шведских избирателей. Эти эксперты интервьюировались сразу пос-ле выборов 1964, 1968 и 1970 гг. Данные относятся к тем экспертам, которые на всех выборах голосовали за кандидатов одной из четырех ведущих партий: социал-демократической партии (СДП), партии центра (ЦП), народной партии (НП) или консерваторов (К). Те, кто воздерживался от голосования или голосовали за представителей дру-

[122]

гих партий, из таблицы исключались. Я весьма признателен профессору Б. Сарлвику (В. Sarlvik) за предоставление этих данных.

Партии в таблице расположены в порядке убывания их <левизны> слева направо. Бросается в глаза, что большинство экспертов (около 80%) сохранили лояльность по отношению к своим партиям на всем протяжении исследования. Более внимательный анализ выявляет еще и наличие эффекта расстояния: при отказе от СДП более вероятен пе-реход к ЦП, чем к стоящей правее НП.

Данные, содержащиеся в этой таблице, фактически представляют собой частоты ячеек в трехмерной таблице 4х4х4. Метод анализа зависит от того, что требуется. Возьмем в качестве цели построение простой модели, хорошо объясняющей данные выборов 1970 г. Обо значим результаты голосования в трех случаях как факторы А, В, С (в хронологическом порядке) и будем рассматривать Л и В как обычные факторы, а С - как единственный отклик. Уровни каждого из факторов пронумерованы от 1 до 4 и соответствуют четырем партиям, следующим в том порядке, в каком они были записаны в таблице.

Наша основная модель - это модель независимости переменной C от факторов А и В с добавлением эффектов <лояльности> и <расстояния>, упомянутых выше. Для эффекта расстояния мы используем переменную <перескока> 5, как в уравнениях (10.18). В данном случае мы сравниваем голосования 1968 и 1970гг., и 4 уровням соответствуют 3 расстояния. Для учета лояльности введем 2 фиктивные дихотомические переменные, Х и Y. Любая ячейка принадлежит уровню 1 фактора X, если результаты голосования 1964 и 1970 гг. совпадают, и уровню 2 - в противном случае. Отметим, что поскольку переменная X - дихотомическая, . Переменная Y определяется аналогично для 1968 и 1970 гг. Полная модель будет тогда (довольно неопределенно) записываться в виде

(10.19)

где относится к сумме по всем возможным расстояниям от j до k. Следующий пример призван конкретизировать эту модель:

Мы можем найти уравнение (10.19) либо матричным методом па-раграфа 8.5, либо обрабатывая 3 параметра расстояния как фиктивные переменные и выражая полную таблицу 4х4х4 как неполную 4³x2⁵, либо, наконец, переходя к мультипликативному выражению модели и пользуясь методами максимизации функций.

Результаты модели, которая описывает данные достаточно хоро-шо, но не потрясающе ( =55,2), показывают, что в 1970 г. имело место смещение к центру, сделавшее партию Центра наиболее популярной, сменившей Народную партию. Однако из-за устрашающих эффектов расстояния и лояльности это вовсе не означает, что данные партии заработали больше всего голосов. Из табл. 10.7 видно, что социал-демократическая партия контролирует явное большинство участ-ников обследования, хотя обе центристские партии заметно прибавили

[123]

в 1970 г. Оценки параметров выявляют, что две центристские партии выглядят теснейшим образом, связанными между собой (и это не уди-вительно), при наибольших расхождениях между ними и социал-демократами.

Возможно любопытное сравнение с двумя альтернативными простыми моделями: моделью чистой лояльности и моделью чистого расстояния, которые получаются отделением от модели уравнения (10.19) либо , либо и . Обе эти модели из рук вон плохо объясняют имеющиеся данные ( = 312 и = 94 соответственно).

Дата добавления: 2015-09-01