Квазинезависимость и другие модели для неполных таблиц

Наипростейшая модель, представляющая интерес для полных таб-лиц, это модель независимости между переменными, которую мы сейчас перепишем для случая I J таблицы. Положим, что теоретическая вероятность появления случайного наблюдения в ячейке (i, j) равна , причем p_io = и p_0j = . Две переменные А и В мы называем независимыми, если для всех i и j справедливо

= (9.6)

Гудмен [Goodman L. А., 1968] показал что естественным обобще-нием этого определения для неполной таблицы будет

= для всех ячеек, которые не обязаны быть нулевыми. (9.7)

Соотношение (9.7) служит определением модели квазинезависимости между переменными А и В.

Оценки частот ячеек для модели квазинезависимости получаются точно так же, как и для полных таблиц с помощью алгоритма Деминга-Стефана, который в этом случае начинает итерации с неполной таблицы из единиц. Машинная программа из ЕСТА беспрепятственно дает оценки для ячеек.

Для определения числа степеней свободы мы сначала вычисляем число степеней свободы соответствующей таблицы I J, а затем вы-читаем число невозможных ячеек. Этот прием годится не только для модели квазинезависимости, но и для других моделей, приложимых к неполным таблицам. Так, для табл. 9.9 мы имели (3x3 -6=) 3 сте-пени свободы в модели квазинезависимости, а для табл. 9.10 - соот-ветственно (2x2 - 3=) 1 степень свободы. Понятно, что нельзя по-строить модель для отрицательного числа степеней свободы и что мо-дель с 0 степеней свободы будет точно соответствовать данным.

Файнберг [Fienberg S. Е., 19706, 1972] обобщил результаты Гудмена и показал, что в зависимости от вида таблицы можно подобрать множество других логлинейных моделей и найти оценки их параметров. Правда, эти оценки не всегда удается представить в явном виде и правила установления их существования в общем случае весьма сложны (см., например, [Bishop Y. M. M., Fienberg S. E., Holland P. W., 1975]).

[106]

Конкретные оценки, относящиеся к модели с неполной треугольной таблицей, были получены Бишоп и Файнбергом [Bishop Y. M. M., Fienberg S. E., 1969] и, в более простом виде, Олтхем [Altham P. M. E., 1975]. Случай отсутствия диагонали подробно анализировал Вагнер IWagner S. E., 1970].

Дата добавления: 2015-09-01