Интерпретация параметров в случае многоуровневых (политомических) переменных

На всем протяжении параграфов, в которых развивалась теория логлинейных моделей, - с 6.2 по 6.5 и с 7.1 по 7.2 - рассмотрение велось в общих терминах; однако иллюстративные примеры всегда ограничивались дихотомическими переменными. Теперь же мы обратимся к ситуациям, где одна или несколько переменных из перекрестной классификации имеет более чем две категории. Такая переменная называется политомической (или многоуровневой). Особые трудности в многоуровневой ситуации связаны не с приложением описанных методов, которым безразлично число категорий у изучаемых переменных, а с интерпретацией результатов анализа.

Пусть мы имеем 3 переменные A B и С, I, J и K категориями со-ответственно. Как и прежде, обозначим частоту в ячейке (i, j, k) через f _ijk, а логарифм теоретической вероятности - через v_ijk, так, чтобы модель без взаимодействий приняла вид

(9.1)

Для устранения избытка параметров в модели наложим на них ограничения вида

(9.2)

так что если мы знаем , то в силу ограничений мы можем определить . Значит, есть всего (К - 1) независимое значение , относящихся к переменной С, а отсюда следует, что с главным эффектом С связано (К - 1) степеней свободы. Это как раз то, с чем мы сталкивались, когда в гл. 4 проверяли отсутствие связи.

Точно такое же правило приложимо и к взаимодействиям. Так как на множество взаимодействий АВ - { } - наложены ограни-чения

, (9.3)

то, следовательно, есть только (I - 1) (J - 1) независимых значений , относящихся к этому взаимодействию. А стало быть с ним связано (I - 1) (J - 1) степеней свободы. Заметьте, что при I = J = 2 есть только одно независимое взаимодействие , поскольку тогда

(9.4)

и это одна из причин, по которым работать с дихотомическими переменными гораздо легче.

[98]

Если нет какой-нибудь определенной связи между категориями данной переменной, то ничего не остается, как работать непосредственно с каждой категорией, включая в модель полный список индивидуальных значений . Иногда, однако, такая связь существует, при-чем мы можем ее установить, и она дает нам возможность, например K -параметров, относящихся к переменной С, представить в виде хорошо интерпретируемых (K - 1) комбинаций этих параметров. В примере 9.1 есть переменные и такие, и другие. Частный случай исходных переменных подробно описан Хейберменом [Haberman S. J., 1974]. Он рассматривается в двух из трех множеств данных этой главы.

Дата добавления: 2015-09-01