Мультипликативная форма логарифмически-линейной модели

Все модели, с которыми мы имели дело на протяжении последних трех глав, были выражены в терминах логарифмов, т. е. каждая модель приравнивала логарифм вероятности ячейки к некоторой линейной комбинации логарифмов преобладаний или отношений преобладаний (смотри, например, уравнения 5.8). Однако, как мы видели в параграфе 7.7, когда мы приступаем к заключительной интерпретации резуль-татов для выбранной модели, то мы рассуждаем в терминах, скорее, преобладаний, чем их логарифмов. В действительности любая логлинейная модель допускает довольно простое представление в терминах отношений преобладаний, и Гудмен подчеркивал это обстоятельство, непрестанно переключаясь с одной формы представления данных на другую (см., в частности, [Goodman L. А., 1972а, 1972б, 1973а]).

Для проведения различий между этими двумя формами моделей мы рассмотрим следующую простую ситуацию, в которой участвуют три переменные А, В и С на двух или более уровнях каждая. Возвращаясь к обозначениям гл. 5, мы запишем Pijk как неизвестную теоретическую вероятность в ячейке (i,j, k), a , поэтому модель AB/C в логлинейной форме может быть записана так:

(8.4)

Теперь мы определим?, и т. д. следующим образом:

и т.д. (8.5)

что позволяет переписать выражение (8.4) в мультипликативной форме:

(8.6)

Мы сможем интерпретировать это выражение гораздо проще, если рассмотрим различные категории фактора С. Давайте положим, что С имеет K категорий, т. е. k = 1, 2,.... K. Тогда если для какой-то

[88]

категории получилось значение, превышающее среднее, то и соответствующее ей должно быть больше, чем 1, а если меньше среднего, то меньше, чем 1 (под <средним> здесь фактически выступает среднее геометрическое, что, впрочем, может нас не тревожить). В соответствии с этим, логарифмы параметров. будут либо положительны, либо отрицательны.

Из-за того, что отношение каждой категории задается средним геометрическим, на все индивидуальные значения т наложены следующие ограничения:

(8.7)

Когда у фактора только две категории, и, следовательно, . Значит, для логарифмов это эквивалентно соотношению . И вообще, при, скажем, K категориях фактора C, мы можем интерпретировать значения как относительные вероятности этих категорий, имея в виду, что каждый объект должен принадлежать и; к одной из категорий. Отсюда

(8.8)

После небольших преобразований мы можем установить, что вероят-ность принадлежности некоторого объекта к категории k' фактора C равна:

, (8.9)

хотя при включении в модель взаимодействий интерпретация утверждений такого типа менее проста.

Дэвис [Davis J. A., 1974] пользовался логлинейной моделью исключительно в мультипликативном виде (правда, в собственных обозначениях) и подробно обсудил ее интерпретацию.

Дата добавления: 2015-09-01