Соотношения между значениями к и условными суммами

Мы уже имели возможность упомянуть некоторые ненасыщенные модели в параграфах 5.6 и 5.7, когда анализировали таблицу 2х2. В табл. 5.6 были сведены результаты оценок частот ячеек по пяти различным моделям, и мы воспользовались этими результатами как путеводной нитью при получении некоторых полезных общих закономерностей.

Заметьте, что для модели равномерности (5.23), , все четыре оцениваемых частоты ячеек должны равняться четверти общей наблюдаемой частоты с тем, чтобы их сумма, оказалась равной наблюдаемой общей частоте . Точно так же для модели зависимости только от A (5.21), , частоты в i -й строке будут получаться делением пополам наблюдаемой строчной суммы. Следовательно, сумма оцениваемых частот ячеек в i -й строке оказывается равной сумме наблюдаемых частот ячеек, . Значит, для этой модели верно и , а отсюда и .

Таким образом, для модели, включающей а для модели, включающей . Такое соотношение между подходящими оценками и наблюдаемыми условными суммами, а также параметрами подбираемой модели не ограничивается данным простым частным случаем, а оказывается весьма общим [Birch M.W., 1963]. Пусть, например, А, В, С и В - четыре дихотомические переменные с в качестве частоты в некоторой ячейке. Пусть теперь в нашу модель (ненасыщенную) входит только взаимодействие трех факторов с . Если мы обозначим соответствующую оценку частоты , то, как показал Берч, для всех i, j, k, (7.1)

поскольку входит в модель. Заметьте, что хотя уравнение (7.1) безусловно верно, отнюдь не обязательно справедливо, например, соотношение

для всех j, k, l,

поскольку параметр не включен в модель. Так, по табл. 5.6 можно было бы проследить, что для модели (5.21) итоги столбцов не совпадают при наблюдаемых и предсказанных частотах.

Есть, однако, важнейшее следствие, какое можно вывести из это-го общего соотношения с помощью нашего частного примера (7.1). Да-

[68]

вайте просуммируем левую и правую части выражения (7.1) по всем категориям переменной А. Тогда мы получим следующий результат:

т.е.

для всех j, k (7.2)

Из общего результата Берча мы знаем, что между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами существует равенство, когда соответствующая l включена в модель. Следовательно, включив в модель, мы одновременно получаем и эффект включения . Аналогично суммируя обе стороны уравнения (7.1) по категориям других факторов, мы еще увидим, что получаются эквивалентные соотношения для подбора

Этот результат показывает, что если мы хотим включить в модель l^АВС, то должны также включить (хотя, может быть, и нечаянно) все те l, надстрочные индексы которых образуют подмножество из букв А, В и С. И мы не можем просто найти модель

без обязательной оценки всех остальных шести значений l. Аналогичная ситуация имеет место и в регрессионном, и в дисперсионном анализах.

Дата добавления: 2015-09-01