Частная однородность и квазисимметрия

Модель симметрии, определяемая уравнениями (10.1) или (10.2), весьма ограничительна. Несколько более реалистичной должна быть такая модель, которая требует только равенства частных вероятностей, оставляя в покое полное соответствие отдельных ячеек. Для двух переменных отсюда следует

p_io = p_oi при i =l,2,..., I, (10.5)

где . Модель (10.5) известна как модель частной однородности.

Хотя модель (10.5) просто построить и легко понять, ее совсем не просто проверить. Причина заключается в том, что частные суммы все взаимосвязаны с вероятностями, стоящими в таблице, и мы не можем непосредственно сравнивать их величины, а вынуждены все пересчитывать в частоты ячеек. Прямая проверка частной однородности требует сложной последовательности итераций, и мы ее пропустим. Ниже мы приведем относительный критерий.

Хорошо видно, что если таблица симметрична, то ее частные суммы однородны (если мы алгебраически просуммируем модель 10.1 по двум переменным, то получим модель 10.5), однако обратное утверждение отнюдь не обязательно верно во всех случаях, за исключением случая таблицы 2 х 2. Это побуждает искать <нечто такое>, что, будучи добавлено к частной однородности, гарантировало бы симметрию. Такое пропущенное звено, может быть, будет более просто найти в терминах логлинейной модели. Обозначим переменные А и В и запишем v_ij = log _e(p_ij). Следующая модель называется моделью квазисимметрии:

v_ij=m+l_i^A+l_j^B+l_ij^AB, i, j=1, 2,:, I,

[114]

при условиях (10.6)

и для всех i, j.

Конечно, последнее ограничение придает модели частный вид. Если одновременно выполняются условия (10.6) и (10.5), то автоматически "выполняется и (10.1).

Для подбора модели (10.6), мы, как обычно, ищем соответствия между подходящими наблюдениями и ожидаемыми частными итогами. Из этого вытекают требования

e_i0 = f_i0, e_0j = f_0j

и

e_ij + e_ji = f_ij + f_ji (10.7)

Учет всех трех ограничений не совсем прост, но Бишоп, Файнберг и Холленд [Bishop Y. M. M., Fienberg S. Е., Holland P. W., 1975] предложили следующий изящный расчет, который позволяет воспользоваться стандартной вычислительной программой. Вот их правила:

1) перейти от двухмерной таблицы I x I к трехмерной таблице I x I x 2, выписывая во второй слой пары ячеек, симметричных относительно главной диагонали, меняя их местами. Тогда мы будем иметь

f_ij1 = f_ij,

(10.8)

f_ij2 = f_ji;

2) подобрать модель АВ/АС/ВС, т. е. модель без трехфакторного взаимодействия;

3) оцениваемые частоты ячеек для двух уровней фактора С должны быть идентичны, поскольку второй слой обратен первому, и служат оценками для модели квазисимметричности исходной таблицы;

4) поскольку в трехфакторном случае все частоты появляются дважды, вычисленное значение Y² (Y²_Q) надо уполовинить. Степени свободы можно найти из ограничений (10.6); они равны (I - 1) (I - 2)/2.

И поскольку присоединение частной однородности к квазисимметрии приводит к полной симметрии, а также в силу аддитивности значений У², мы можем воспользоваться уже найденными величинами Y²_S и У²_Q для получения условного критерия частной однородности в предположении квазисимметрии. Он просто равен: c [ I(I - 1)/2 - (I - 1)(I - 2)/2] = (I - 1) степенями свободы.

Дата добавления: 2015-09-01