Виды моделей

Поскольку истинные вероятности в совокупности нам не известны, остается использовать наблюдаемые частоты ячеек в качестве их оценок. В результате то, что мы извлекаем из модели, находит разумное объяснение через различия в наблюдаемых частотах ячеек. Тогда модель можно интерпретировать в терминах вероятностей ячеек, которые, конечно, обязаны все лежать между 0 и 1. Раньше делались попытки отыскать модели, вроде рассмотренных Коулменом [Coleman J.S., 1964], которые приводили к трудностям из-за того, что допускали существование таких наборов данных, для которых оцениваемые вероятности ячеек могли принимать значения вне этого диапазона.

Отсюда следует, что простейший путь построения модели заключается в том, чтобы работать не с вероятностями, а с какими-нибудь функциями от вероятностей, причем такими, которые не ограничены и имеют своим минимальным значением , а максимальным соответственно . Это выглядит сомнительно, зато весьма облегчает жизнь.

Для дихотомических факторов, у которых вероятности категорий 1 и 2 равны соответственно р и (1 - р), мы предпочитаем работать с

(5.2)

когда р = 0, х = , а когда р = 0,5, х = 0, наконец, когда р = 1, х = . Графическое представление этой зависимости между р и х и обсуждение возможностей использования х в таком контексте приводит Тейл [Theil H., 1971].

Потенцируя обе части равенства (5.2), мы можем избавиться от логарифма и получить

или, решая относительно р:

. (5.3)

Уравнение (5.3) показывает, что каждому значению х соответствует единственное значение р, и наоборот, а это означает, что (5.2) - преобразование р, имеющего ограниченный диапазон, в х с пределами, бесконечными в обе стороны. В результате такого дьявольски хитрого математического трюка получилось, что, какое бы значение мы ни нашли для оценки х, ему всегда будет соответствовать приемлемое значение р.

Функция х известна под именем <логит>, или логарифм преобладания, причем последнее название более наглядно, но относится обычно к случаю дихотомических переменных. Главным сторонником широкого применения логитов был профессор Берксон [Berkson J., 3., см. на-пример, 1944]. Первым, кто применил логиты для таблиц сопряжен-ности, был, по-видимому, Плекет [Plackett R.L., 1962].

[48]

Дата добавления: 2015-09-01