Разбиение хи-квадрат

В гл. 1 мы отмечали, что если случайная величина Х имеет распределение - соответственно , а Х и У при этом независимы, то величина Z= Х + У распределена как . Отсюда следует, что если W имеет распределение (с > 1), то мы можем разложить с на компоненты, имеющие по одной степени свободы и образующие в совокупности величину Y. В ситуации нашего примера при желании легко разложить общие 6 степеней свободы так, чтобы одна из них прилагалась именно на ячейку (1,1). Научиться этому можно только на практике. Максвелл [Maxwell А. Е., 1961] детально разобрал эту процедуру, и мы сформулируем теперь некоторые из его правил, которые могут вам пригодиться.

Правило 1. Если в исходной таблице есть с степеней свободы, то ее можно разбить не более чем на с подтаблиц.

Правило 2. Каждая из наблюдаемых частот ячеек должна встречаться в одной подтаблице один и только один раз.

Правило 3. Любая условная сумма в подтаблице должна быть либо частотой в другой подтаблице, либо условной суммой исходной таблицы.

Пример 3.3

Таблица частот (табл. 3.2), как можно было видеть, в полном соответствии с таблицей ожидаемых значений при условии независимости имеет очень большую частоту в ячейке (1, 1). Для выделения этой частоты мы строим табл. 3.5, в которой переменные A и B дихотомизируются, а вход (1, 1) выбирается в качестве одного из входов новой таблицы. Величины статистик для проверки качества этих данных вычисляются как обычно и имеют

[30]

(2 - 1) х (2 - 1) = 1 степень свободы. Мы находим, что X²= 12,96 и Y²= 11,73.

Теперь осталось "пристроить" еще 5 степеней свободы. Это можно сделать многими способами. Один из них, который приглянулся автору, продемонстрирован в трех частях табл. 3.6.

Т а б л и ц а 3.5. Двойная дихотомия данных табл. 3.2. для изоляции ячейки (1,1)

	B1	не B1	Всего
A1 неA1
Всего

Читателю предлагается проверить, что разбиение удовлетворяет сформулированным выше правилам. Он сможет еще обратить внимание на некую симметрию в шапках строк и столбцов.

Для этих трех таблиц тоже надо сосчитать значения X² и Y². Итоги такого подсчета представлены в табл. 3.7. Важно помнить, что для полной таблицы 3 X 4 у нас было X² = 16,25, Y² = 15,18 с 6 степенями свободы каждый. Малое различие между последним итогом, равным 16,26, и предыдущим - 16,25 объясняется ошибками округления.

Теперь мы готовы дать более ясную интерпретацию отношений между переменными А и В. Поскольку ни одна из подтаблиц из табл. 3.6 не дает никакой явной зацепки, которая позволяла бы ожидать, при условии независимости А и В, что они ведут себя так, как будто они не-

	В1	не В1	Всего
А2 А3
Всего

Т а б л и ц а 3.6. Разделение оставшихся пяти степеней свободы

(б)

	В2	В3	В4	Всего
А1 не А1
Всего

(в)

	В2	В3	В4	Всего
А2 А3
Всего

Т а б л и ц а 3.7. Результаты разбиения табл. 3.2

Номер таблицы	Число ст. св.	Х^2	Y^2
3.5 3.6 (а) 3.6 (б) 3.6 (в)		12.96 2.36 0.78 0.16	11.73 2.49 0.80 0.16
Всего		16.26	15.18

[31]

зависимы, то нам остается ожидать, что принадлежность индивида к категории А ₁делает весьма вероятной и его принадлежность к категории В ₁ (и наоборот). Чтобы придать этому физический смысл, надо знать природу переменных и их категорий.

Дата добавления: 2015-09-01