Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Описание метода простых итераций.

Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. | Постановка задачи и ее качественное исследование. | Ручные вычисления по методу Гаусса. | Регуляризация решения | Описание метода Гаусса для вырожденных систем. | Определение совместности системы. | Условие применимости метода квадратного корня. | Матричное описание метода квадратного корня. | Пример. | Компакт-метод. |


Читайте также:
  1. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
  2. Анис обыкновенный: описание
  3. Анкетирование. Сущность метода, особенности проведения, недостатки.
  4. Анкетирование. Сущность метода, особенности проведения, недостатки.
  5. Безмятежность духа - необходимое условие освоения метода
  6. Вероятностных методах отбора респондентов
  7. ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ

Вернемся теперь к решению системы линейных уравнений, преобразованной к виду (9.1).

Решить систему - значит найти неподвижную точку Х такую, что если подставить ее координаты в правые части уравнений (9.1), то получим ту же точку Х. Для поиска неподвижной точки сжимающего отображения мы, как обычно, построим рекуррентную последовательность векторов по следующему правилу:

Х0-произвольный, Хk+1 = А Хk + В (9.2)

После построения последовательности векторов посмотрим, сходится ли построенная последовательность. Если да, то она сходится обязательно к решению системы (9.1).

Упражнение 9.3. Докажите.

Сходится последовательность или нет – зависит от матрицы А и начального вектора Х0.

ТЕОРЕМА. Пусть задана система линейных уравнений (9.1) и построена рекуррентная последовательность векторов по правилу (9.2). Если для матрицы А хотя бы одно из чисел q1,q2,q¥ меньше 1, то мы можем утверждать, что последовательность векторов, которую мы построили, обязательно сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q.

Доказательство опирается на принцип сжимающих отображений и аналогично доказательству в одномерном случае, изложенному в самом начале работы.

Упражнение 9.4. Проведите самостоятельно доказательство теоремы.

Из теоремы вытекает соответствующий метод решения системы. Заметим, что при выполнении ограничений на элементы матрицы А последовательность построенных по правилу (9.2) векторов сходится к решению независимо от выбора вектора Х0, но обычно в качестве Х0 выбирают вектор В. Это можно объяснить тем, что если взять Х0=0, то на следующем шаге получится вектор В, т.е. он как бы лежит на пути от 0 к решению системы. Повторим, что у метода итераций есть преимущество перед всеми другими методами: это устойчивый метод.


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 101 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Условия применимости метода простых итераций.| Случай, когда матрица А близка к единичной.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)