Читайте также:
|
|
Вернемся теперь к решению системы линейных уравнений, преобразованной к виду (9.1).
Решить систему - значит найти неподвижную точку Х такую, что если подставить ее координаты в правые части уравнений (9.1), то получим ту же точку Х. Для поиска неподвижной точки сжимающего отображения мы, как обычно, построим рекуррентную последовательность векторов по следующему правилу:
Х0-произвольный, Хk+1 = А Хk + В (9.2)
После построения последовательности векторов посмотрим, сходится ли построенная последовательность. Если да, то она сходится обязательно к решению системы (9.1).
Упражнение 9.3. Докажите.
Сходится последовательность или нет – зависит от матрицы А и начального вектора Х0.
ТЕОРЕМА. Пусть задана система линейных уравнений (9.1) и построена рекуррентная последовательность векторов по правилу (9.2). Если для матрицы А хотя бы одно из чисел q1,q2,q¥ меньше 1, то мы можем утверждать, что последовательность векторов, которую мы построили, обязательно сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q.
Доказательство опирается на принцип сжимающих отображений и аналогично доказательству в одномерном случае, изложенному в самом начале работы.
Упражнение 9.4. Проведите самостоятельно доказательство теоремы.
Из теоремы вытекает соответствующий метод решения системы. Заметим, что при выполнении ограничений на элементы матрицы А последовательность построенных по правилу (9.2) векторов сходится к решению независимо от выбора вектора Х0, но обычно в качестве Х0 выбирают вектор В. Это можно объяснить тем, что если взять Х0=0, то на следующем шаге получится вектор В, т.е. он как бы лежит на пути от 0 к решению системы. Повторим, что у метода итераций есть преимущество перед всеми другими методами: это устойчивый метод.
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 101 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Условия применимости метода простых итераций. | | | Случай, когда матрица А близка к единичной. |